O objem gule je priestor, ktorý toto zaberá geometrické teleso. Cez lúč z loptu — teda zo vzdialenosti medzi stredom a povrchom — je možné vypočítať jeho objem.
Prečítajte si tiež: Objem geometrických telies
Súhrn o objeme gule
Guľa je a okrúhle telo získané otáčaním polkruhu okolo osi obsahujúcej priemer.
Všetky body na gule sú vo vzdialenosti rovnajúcej sa alebo menšej ako r od stredu gule.
Objem gule závisí od veľkosti polomeru.
Vzorec pre objem gule je \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Video lekcia o objeme gule
Čo je guľa?
Uvažujme bod O v priestore a úsečku s mierou r. guľa je pevné teleso tvorené všetkými bodmi, ktoré sú od O vo vzdialenosti rovnajúcej sa alebo menšej ako r. O nazývame stred gule a r polomer gule.
guľa možno charakterizovať aj ako revolučnú látku. Všimnite si, že otáčanie polkruhu okolo osi obsahujúcej jeho priemer vytvára guľu:
Vzorec objemu gule
Na výpočet objemu V gule použijeme vzorec uvedený nižšie, kde r je polomer gule:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
Je dôležité dodržiavať jednotka merania
polomer na určenie mernej jednotky objemu. Napríklad, ak je r uvedené v cm, potom objem musí byť uvedený v cm³.Ako vypočítať objem gule?
Výpočet objemu gule závisí len od merania polomeru. Pozrime sa na príklad.
Príklad: Pomocou aproximácie π = 3 nájdite objem basketbalovej lopty s priemerom 24 centimetrov.
Keďže priemer je dvojnásobkom polomeru, r = 12 cm. Aplikovaním vzorca pre objem gule máme
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V=6 912\ cm^3\)
sféry
Uvažujme guľu so stredom O a polomerom r. Páči sa ti to, môžeme uvažovať o troch regiónoch tejto sféry:
Vnútornú oblasť tvoria body, ktorých vzdialenosť od stredu je menšia ako polomer. Ak P patrí do vnútornej oblasti gule, potom
\(D(P, O)
Oblasť povrchu je tvorená bodmi, ktorých vzdialenosť od stredu sa rovná polomeru. Ak P patrí do povrchovej oblasti gule, potom
\(D(P, O)=r\)
Vonkajšia oblasť je tvorená bodmi, ktorých vzdialenosť od stredu je väčšia ako polomer. Ak P patrí do vnútornej oblasti gule, potom
\(D(P, O)>r\)
V dôsledku toho body vo vonkajšej oblasti gule nepatria do gule.
Vedieť viac: Guľový uzáver — tuhá látka získaná, keď guľu pretína rovina
Iné guľové vzorce
A oblasť gule — teda meranie jeho povrchu — má tiež známy vzorec. Ak r je polomer gule, jej plocha A sa vypočíta podľa
\(A=4·π·r^2\)
V tomto prípade je tiež dôležité zaznamenať mernú jednotku pre polomer, ktorá označuje jednotku merania pre oblasť. Napríklad, ak r je v cm, potom A musí byť v cm².
Vyriešené cvičenia na objem gule
Otázka 1
Aký je polomer gule, ktorá má objem 108 centimetrov kubických? (Použite π = 3).
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 5 cm
e) 6 cm
Rozhodnutie
Alternatíva B.
Zvážte to r je polomer gule. Keď vieme, že V = 108, môžeme použiť vzorec pre objem gule:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\ cm\)
otázka 2
Staroveká guľovitá nádrž má priemer 20 metrov a objem V1. Je žiaduce vybudovať druhú nádrž s objemom V2, s dvojnásobným objemom starej nádrže. Takže, V2 je to rovnaké ako
) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
B) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
d) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
To je) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
Rozhodnutie
E alternatíva.
Keďže priemer je dvojnásobkom polomeru, stará nádrž má polomer r = 10 metrov. Preto
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
Podľa vyhlásenia, \(V_2=2·V_1\), t.j
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm
