Symetrická matica: čo to je, príklady, vlastnosti

symetrická matica je ústredie v ktorom každý prvok \(a_{ij}\) sa rovná prvku \(a_{ji}\) pre všetky hodnoty i a j. V dôsledku toho sa každá symetrická matica rovná svojej transpozícii. Za zmienku tiež stojí, že každá symetrická matica je štvorcová a že hlavná uhlopriečka pôsobí ako os symetrie.

Prečítajte si tiež:Sčítanie a odčítanie matice — ako vypočítať?

Abstrakt o symetrickej matici

  • V symetrickej matici, \(a_{ij}=a_{ji}\) pre všetky i a j.

  • Každá symetrická matica je štvorcová.

  • Každá symetrická matica sa rovná svojej transpozícii.

  • Prvky symetrickej matice sú symetrické okolo hlavnej diagonály.

  • Zatiaľ čo v symetrickej matici \(a_{ij}=a_{ji}\) pre všetky i a j; v antisymetrickej matrici, \(a_{ij}=-a_{ji}\) pre všetky i a j.

Čo je to symetrická matica?

Symetrická matica je štvorcová matica kde \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) pre každé i a každé j. To znamená, že \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)a tak ďalej pre všetky možné hodnoty i a j. Pamätajte, že možné hodnoty i zodpovedajú riadkom matice a možné hodnoty j zodpovedajú stĺpcom matice.

  • Príklady symetrických matíc

\(\začiatok{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\začiatok{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

  • Príklady nesymetrických matíc (vezmite do úvahy \(\mathbf{b≠g}\))

\(\začiatok{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\začiatok{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Dôležité: Povedať, že matica nie je symetrická, znamená to ukázať \(a_{ij}≠a_{ji}\) pre aspoň nejaké i a j (čo môžeme vidieť porovnaním predchádzajúcich príkladov). Toto sa líši od koncepcie antisymetrickej matice, ktorú uvidíme neskôr.

Aké sú vlastnosti symetrickej matice?

  • Každá symetrická matica je štvorcová

Všimnite si, že definícia symetrickej matice je založená na štvorcových maticiach. Každá symetrická matica má teda rovnaký počet riadkov ako je počet stĺpcov.

  • Každá symetrická matica sa rovná svojej transpozícii

Ak je A matica, jej transponované (\(A^T\)) je definovaná ako matica, ktorej riadky sú stĺpce A a ktorej stĺpce sú riadky A. Takže ak A je symetrická matica, máme \(A=A^T\).

  • V symetrickej matici sa prvky „odrážajú“ vzhľadom na hlavnú uhlopriečku

Ako \(a_{ij}=a_{ji}\) v symetrickej matici sú prvky nad hlavnou uhlopriečkou „odrazy“ prvkov pod ňou uhlopriečky (alebo naopak) vo vzťahu k uhlopriečke tak, že hlavná uhlopriečka pôsobí ako os symetria.

Aké sú rozdiely medzi symetrickou maticou a antisymetrickou maticou?

Ak je A symetrická matica, potom \(a_{ij}=a_{ji}\) pre všetky i a všetky j, ako sme študovali. V prípade antisymetrickej matice je situácia iná. Ak B je antisymetrická matica, potom \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) pre každé i a každé j.

Všimnite si, že to má za následok \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), teda hlavné diagonálne prvky sú nulové. Dôsledkom toho je, že transpozícia antisymetrickej matice sa rovná jej opaku, to znamená, že ak B je antisymetrická matica, potom \(B^T=-B\).

  • Príklady antisymetrických matíc

\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)

Pozri tiež: Matica identity — matica, v ktorej sa hlavné diagonálne prvky rovnajú 1 a zvyšné prvky sa rovnajú 0

Vyriešené úlohy na symetrickej matici

Otázka 1

(Unicentro)

ak matrika \(\začiatok{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) je symetrický, takže hodnota xy je:

A) 6

B) 4

C) 2

D) 1

E) -6

Rozhodnutie:

Alternatíva A

Ak je daná matica symetrická, prvky v symetrických pozíciách sú rovnaké (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Preto musíme:

\(x = y - 1\)

\(x + 5 = 7\)

Výmena prvého rovnica v druhom dospejeme k záveru \(y=3\), čoskoro:

\(x=2\) to je \(xy=6\)

otázka 2

(UFSM) S vedomím, že matrica \(\začiatok{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) sa rovná jeho transpozícii, hodnote \(2x+y\) é:

A) -23

B) -11

C) -1

D) 11

E) 23

Rozhodnutie:

Alternatíva C

Keďže daná matica sa rovná jej transpozícii, ide o symetrickú maticu. Prvky v symetrických polohách sú teda rovnaké (\(a_{ij}=a_{ji}\)), t.j.:

\(x^2=36\)

\(4-y=-7\)

\(-30=5x\)

Podľa prvej rovnice, x = -6 alebo x=6. Treťou rovnicou dostaneme správnu odpoveď: x= -6. Podľa druhej rovnice, y=11.

Čoskoro:

\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)

Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteľ matematiky

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm

Čaje na zníženie hladiny glukózy: Objavte možnosti, ktoré pomáhajú predchádzať cukrovke

Používanie čajov na prevenciu a liečbu chorôb je starodávna tradícia prítomná prakticky u všetkýc...

read more
Tipy, čo dať do detského obedového boxu: Výživné a chutné maškrty

Tipy, čo dať do detského obedového boxu: Výživné a chutné maškrty

Jedlo je nevyhnutné pre zdravý vývoj detí. Vieme však, že nie vždy dokážeme upútať pozornosť tých...

read more

4 znamenia, ktoré radi randia

Na sociálnych sieťach časť používateľov internetu rada cituje sociológa Zygmunta Baumana. Ľudské ...

read more