symetrická matica je ústredie v ktorom každý prvok \(a_{ij}\) sa rovná prvku \(a_{ji}\) pre všetky hodnoty i a j. V dôsledku toho sa každá symetrická matica rovná svojej transpozícii. Za zmienku tiež stojí, že každá symetrická matica je štvorcová a že hlavná uhlopriečka pôsobí ako os symetrie.
Prečítajte si tiež:Sčítanie a odčítanie matice — ako vypočítať?
Abstrakt o symetrickej matici
V symetrickej matici, \(a_{ij}=a_{ji}\) pre všetky i a j.
Každá symetrická matica je štvorcová.
Každá symetrická matica sa rovná svojej transpozícii.
Prvky symetrickej matice sú symetrické okolo hlavnej diagonály.
Zatiaľ čo v symetrickej matici \(a_{ij}=a_{ji}\) pre všetky i a j; v antisymetrickej matrici, \(a_{ij}=-a_{ji}\) pre všetky i a j.
Čo je to symetrická matica?
Symetrická matica je štvorcová matica kde \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) pre každé i a každé j. To znamená, že \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)a tak ďalej pre všetky možné hodnoty i a j. Pamätajte, že možné hodnoty i zodpovedajú riadkom matice a možné hodnoty j zodpovedajú stĺpcom matice.
Príklady symetrických matíc
\(\začiatok{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\začiatok{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Príklady nesymetrických matíc (vezmite do úvahy \(\mathbf{b≠g}\))
\(\začiatok{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\začiatok{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Dôležité: Povedať, že matica nie je symetrická, znamená to ukázať \(a_{ij}≠a_{ji}\) pre aspoň nejaké i a j (čo môžeme vidieť porovnaním predchádzajúcich príkladov). Toto sa líši od koncepcie antisymetrickej matice, ktorú uvidíme neskôr.
Aké sú vlastnosti symetrickej matice?
Každá symetrická matica je štvorcová
Všimnite si, že definícia symetrickej matice je založená na štvorcových maticiach. Každá symetrická matica má teda rovnaký počet riadkov ako je počet stĺpcov.
Každá symetrická matica sa rovná svojej transpozícii
Ak je A matica, jej transponované (\(A^T\)) je definovaná ako matica, ktorej riadky sú stĺpce A a ktorej stĺpce sú riadky A. Takže ak A je symetrická matica, máme \(A=A^T\).
V symetrickej matici sa prvky „odrážajú“ vzhľadom na hlavnú uhlopriečku
Ako \(a_{ij}=a_{ji}\) v symetrickej matici sú prvky nad hlavnou uhlopriečkou „odrazy“ prvkov pod ňou uhlopriečky (alebo naopak) vo vzťahu k uhlopriečke tak, že hlavná uhlopriečka pôsobí ako os symetria.
Aké sú rozdiely medzi symetrickou maticou a antisymetrickou maticou?
Ak je A symetrická matica, potom \(a_{ij}=a_{ji}\) pre všetky i a všetky j, ako sme študovali. V prípade antisymetrickej matice je situácia iná. Ak B je antisymetrická matica, potom \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) pre každé i a každé j.
Všimnite si, že to má za následok \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), teda hlavné diagonálne prvky sú nulové. Dôsledkom toho je, že transpozícia antisymetrickej matice sa rovná jej opaku, to znamená, že ak B je antisymetrická matica, potom \(B^T=-B\).
Príklady antisymetrických matíc
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Pozri tiež: Matica identity — matica, v ktorej sa hlavné diagonálne prvky rovnajú 1 a zvyšné prvky sa rovnajú 0
Vyriešené úlohy na symetrickej matici
Otázka 1
(Unicentro)
ak matrika \(\začiatok{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) je symetrický, takže hodnota xy je:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Rozhodnutie:
Alternatíva A
Ak je daná matica symetrická, prvky v symetrických pozíciách sú rovnaké (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Preto musíme:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Výmena prvého rovnica v druhom dospejeme k záveru \(y=3\), čoskoro:
\(x=2\) to je \(xy=6\)
otázka 2
(UFSM) S vedomím, že matrica \(\začiatok{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) sa rovná jeho transpozícii, hodnote \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Rozhodnutie:
Alternatíva C
Keďže daná matica sa rovná jej transpozícii, ide o symetrickú maticu. Prvky v symetrických polohách sú teda rovnaké (\(a_{ij}=a_{ji}\)), t.j.:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Podľa prvej rovnice, x = -6 alebo x=6. Treťou rovnicou dostaneme správnu odpoveď: x= -6. Podľa druhej rovnice, y=11.
Čoskoro:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm