A pomer zlatá alebo božská proporcia je rovnosť spojená s predstavami harmónie, krásy a dokonalosti. Euklides z Alexandrie, grécky matematik, ktorý žil okolo roku 300 pred Kristom. C., bol jedným z prvých mysliteľov, ktorí formalizovali tento koncept, ktorý až dodnes zaujíma výskumníkov z rôznych oblastí.
Dôvodom tohto záujmu je, že zlatý rez možno približným spôsobom pozorovať v prírode, vrátane semien a listov rastlín a v ľudskom tele. V dôsledku toho je zlatý rez predmetom štúdia rôznych odborníkov, ako sú biológovia, architekti, umelci a dizajnéri.
Prečítajte si tiež: Číslo pi — jedna z najdôležitejších konštánt v matematike
Témy tohto článku
- 1 - Zhrnutie zlatého rezu
- 2 - Ako vypočítať zlaté číslo?
- 3 - Zlatý rez a Fibonacciho postupnosť
- 4 - Zlatý rez a zlatý obdĺžnik
-
5 - Aplikácie zlatého rezu
- Zlatý pomer v architektúre
- Zlatý rez v ľudskom tele
- zlatý rez v umení
- Zlatý rez v prírode
- Zlatý pomer v dizajne
- 6 - Vyriešené cvičenia na zlatý rez
Zhrnutie o zlatom reze
Zlatý rez je pomer pre \(a>b>0\) také že
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Za týchto podmienok dôvod TheB sa nazýva zlatý rez.
Zlatý rez je spojený s koncepciami rovnováhy, čistoty a dokonalosti.
Grécke písmeno ϕ (čítaj: fi) predstavuje zlaté číslo, čo je konštanta získaná zo zlatého rezu.
Vo Fibonacciho postupnosti sa podiely medzi každým členom a jeho predchodcom blížia k zlatému číslu.
Zlatý obdĺžnik je obdĺžnik, ktorého strany sú v zlatom reze.
Čo je zlatý rez?
Zoberme si úsečku rozdelenú na dve časti: väčšiu časť The a najmenší B. uvedomte si to a+b je mierou celého segmentu.
zlatý rez je rovnosť medzi dôvodmi\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) to je \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), t.j
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
V tejto súvislosti to hovoríme The to je B sú v zlatom reze.
Ale pre aké hodnoty The to je B máme zlatý rez? To uvidíme ďalej.
Neprestávaj teraz... Po publicite je toho viac ;)
Ako vypočítať zlaté číslo?
Dôvod \(\frac{a}b\)(alebo podobne, dôvod \(\frac{a+b}a\)) má za následok konštantu nazývanú zlaté číslo a reprezentovaný gréckym písmenom ϕ. Preto je bežné písať
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Na výpočet zlatého čísla uvažujme zlatý rez pre b = 1. Takto ľahko zistíme hodnotu The a získajte ϕ z rovnosti \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Všimnite si, že zlatý rez môžeme zapísať nasledovne pomocou vlastnosti krížového násobenia:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Ak dosadíme b = 1, máme
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Použitie Bhaskarovho vzorca pre túto kvadratickú rovnicu sme dospeli k záveru, že kladné riešenie z The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Ako The je mierou segmentu, negatívne riešenie nebudeme brať do úvahy.
Tak ako \(\frac{a}b=ϕ\), Presná hodnota zlatého čísla je:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Výpočtom kvocientu dostaneme Približná hodnota zlatého čísla:
\(ϕ≈1,618033989\)
Pozri tiež: Ako riešiť matematické operácie so zlomkami?
Zlatý rez a Fibonacciho postupnosť
A Fibonacciho postupnosť je zoznam čísel kde každý člen, začínajúc od tretieho, sa rovná súčtu dvoch predchodcov. Pozrime sa na prvých desať členov tejto postupnosti:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Ako vypočítame kvocient medzi každým výrazom a jeho predchodcom vo Fibonacciho postupnosti, blížime sa k zlatému číslu ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Zlatý rez a zlatý obdĺžnik
Jeden obdĺžnik kde je najdlhšia strana The a menšia strana B sú v zlatom reze volá sa to zlatý obdĺžnik. Príkladom zlatého obdĺžnika je obdĺžnik, ktorého strany merajú 1 cm a \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Vedieť viac: Čo sú priamo úmerné množstvá?
Aplikácie zlatého rezu
Všimnite si, že doteraz sme zlatý rez študovali iba v abstraktných matematických kontextoch. Ďalej uvidíme niekoľko aplikovaných príkladov, ale je potrebná opatrnosť: zlatý rez nie je uvedený presne v žiadnom z týchto prípadov. Existujú analýzy rôznych kontextov, v ktorých zlaté číslo sa javí takpribližné.
Zlatý pomer v architektúre
Niektoré štúdie tvrdia, že odhady počtu zlata sú pozorované v určitých pomeroch rozmerov Cheopsovej pyramídy v Egypte a budovy ústredia OSN v New Yorku.
Zlatý rez v ľudskom tele
Rozmery ľudského tela sa líšia od jednej osoby k druhej a neexistuje dokonalý typ postavy. Prinajmenšom od starovekého Grécka sa však vedú debaty o matematicky ideálnom tele (a v skutočnosti úplne nedosiahnuteľnom) s meraniami súvisiacimi so zlatým rezom. V tomto teoretickom kontexte napr. pomer výšky človeka k vzdialenosti medzi pupkom a zemou by bol zlatým číslom.
zlatý rez v umení
Existuje výskum diel „Vitruviánsky muž“ a „Mona Lisa“ od Taliana Leonarda da Vinciho, ktoré naznačujú, použitie zlatých obdĺžnikov.
Zlatý rez v prírode
Existujú štúdie, ktoré poukazujú na a vzťah medzi zlatým rezom a spôsobom rozloženia listov určitých rastlín na stonke. Toto usporiadanie listov sa nazýva fylotaxia.
Zlatý pomer v dizajne
Zlatý rez je študovaný a využívaný aj v oblasti dizajnu ako a nástroj na zostavenie projektu.
Vyriešené cvičenia na zlatý rez
Otázka 1
(Enem) Úsečka je rozdelená na dve časti v zlatom reze, keď je celok k jednej z častí v rovnakom pomere ako táto časť k druhej. Táto konštanta úmernosti je bežne reprezentovaná gréckym písmenom ϕ a jej hodnota je daná kladným riešením rovnice ϕ2 = ϕ+1.
Rovnako ako sila \(ϕ^2\), vyššie mocniny ϕ môžu byť vyjadrené v tvare \(aϕ+b\), kde a a b sú kladné celé čísla, ako je uvedené v tabuľke.
potenciu \(ϕ^7\), zapísaný v tvare aϕ+b (a a b sú kladné celé čísla), je
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Rozhodnutie
Ako \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Musíme
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Uplatnenie distribučného,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Ako \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternatíva.
otázka 2
Každé tvrdenie o zlatom čísle nižšie ohodnoťte ako T (pravda) alebo F (nepravda).
i. Zlaté číslo ϕ je iracionálne.
II. Kvocienty medzi každým členom a jeho predchodcom vo Fibonacciho postupnosti sa blížia k hodnote ϕ.
III. 1,618 je zaokrúhlenie zlatého čísla ϕ na tri desatinné miesta.
Správna postupnosť, zhora nadol, je
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Rozhodnutie
i. Pravda.
II. Pravda.
III. Pravda.
Alternatíva A.
Zdroje
FRANCISCO, S. V. od L. Medzi fascináciou a realitou zlatého rezu. Dizertačná práca (odborný magisterský titul z matematiky v národnej sieti) – Inštitút biologických vied, písmen a exaktných vied, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Dostupné v: http://hdl.handle.net/11449/148903.
PREDAJ, J. od S. Zlatý rez prítomný v prírode. Ukončenie práce v kurze (titul z matematiky), Federálny inštitút pre vzdelávanie, vedu a techniku v Piauí. Piauí, 2022. Dostupné v http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteľ matematiky
Pochopte, čo to je a ako vypočítať priemernú rýchlosť a hustotu obyvateľstva.
Zistite, čo to je a ako používať Bhaskarov vzorec na riešenie kvadratických rovníc!
Pochopte, čo sú priamo úmerné veličiny a naučte sa riešiť problémové situácie zahŕňajúce tento typ vzťahu.
Tu sa dozviete, ako určiť, či sú dve množstvá alebo čísla nepriamo úmerné. Pozrite si príklady a cvičenia na danú tému!
Tu sa dozviete, čo je pomer a ako ho vypočítať. Pozrite si tiež jeho hlavné vlastnosti a pochopte, čo sú proporcionálne množstvá.
Pozrite si rôzne spôsoby vyjadrenia pomeru, pozri tiež definíciu a niektoré aplikácie proporcie. Naučte sa tieto koncepty aplikovať.
Naučte sa používať zložené pravidlo troch na nájdenie neznámych hodnôt a problémov s tromi alebo štyrmi veličinami.
Poznať pravidlo troch. Pochopte, čo sú priame a nepriamo úmerné veličiny. Poznať rozdiel medzi jednoduchým pravidlom troch a zloženým pravidlom.
Numerické sekvencie: Fibonacciho sekvencia.
