bisector a kolmá čiara na segment, ktorý pretína jeho stred. Kolmicu úsečky môžeme zostrojiť pomocou pravítka a kružidla. Na a trojuholníkosi sú čiary kolmé na strany, ktoré obsahujú ich stredy. Trojuholník má teda tri kolmé osi. Bod, v ktorom sa tieto osy stretávajú, sa nazýva stred kružnice a tvorí stred kružnice opísanej trojuholníku.
Prečítajte si tiež: Vzdialenosť medzi dvoma bodmi — najkratšia cesta medzi dvoma bodmi v karteziánskej rovine
Zhrnutie o kolmici
Bisector je rovno kolmo na segment prechádzajúci stredom.
Body kolmice sú rovnako vzdialené od koncových bodov úsečky.
Kolmica môže byť skonštruovaná pomocou pravítka a kružidla.
Rovnicu kolmej osy možno určiť na základe súradníc koncových bodov segmentu.
Trojuholník má tri kolmé osi, jednu vzhľadom na každú stranu.
Priesečník priesečníkov trojuholníka sa nazýva circumcenter. Tento bod je stredom kružnice opísanej trojuholníku.
Stred trojuholníka sa líši od mediánu, osi a výšky trojuholníka.
Čo je to mediatrix?
Daná úsečka je kolmica kolmá na úsečku segment ktorý zachytí vaše stredný bod.
Dôležitým dôsledkom tejto definície je, že všetky body na kolmici sú v rovnakej vzdialenosti od koncových bodov segmentu. V matematickej symbolológii, ak AB je úsečka a bod P patrí osi, potom PA = PB.
Ako postaviť bisektor?
Ak chcete zostrojiť kolmicu úsečky, potrebujeme len pravítko a kružidlo. Kroky výstavby sú nasledovné:
Krok 1: Vzhľadom na segment AB otvorte kompas s dĺžkou väčšou ako polovica segmentu. Tip: jednou z možností je použiť dĺžku samotného segmentu.
Krok 2: nakresliť jednu obvod so stredom na jednom konci segmentu a polomerom s mierou zvolenou v kroku 1.
Krok 3: Opakujte krok 2 pre druhý koniec segmentu.
Krok 4: Spojte priesečníky kruhov pomocou pravítka.
Ako nájsť osovú rovnicu?
Keďže odvesna je priamka, môžeme určiť a rovnica ktorý popisuje vaše body, bytie r riadok, ktorý obsahuje segment AB rozdané, s stred tohto segmentu a P (x, y) ľubovoľný bod na odvesne.
Za predpokladu, že súradnice bodov A to je B sú známe, môžeme získať uhlový koeficient n z priameho r. Ako r to je s sú kolmé, sklon m z priameho s možno nájsť aj kolmicu, pretože je opakom multiplikatívnej inverznej osi n. Použitím výrazu pre základnú rovnicu priamky, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), na čom \(M(x\_0,y\_0)\) je stredom AB, dokončili sme rovnicu osy.
Príklad:
Určte osovú rovnicu úsečky určenej bodmi A(1,2) a B(3,6).
Rozhodnutie:
Po prvé, poďme na svah n z priameho r ktorý obsahuje segment AB:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Teraz hľadáme stred M segmentu AB:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Pamätajte, že kolmica s chcená je kolmá na čiaru r (ktorý obsahuje segment AB). Potom uhlový koeficient m z priameho s a uhlový koeficient n z priameho r súvisia takto:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
preto \( m_s=\frac{-1}2\).
Nakoniec použijeme základnú rovnicu priamky na určenie osy s, priamky, ktorá má sklon rovný \(-\frac{1}2\) a prechádza cez bod (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
stred trojuholníka
Tri strany trojuholníka sú úsečky. Pojem „osektor trojuholníka“ sa teda vzťahuje na stred jednej zo strán tohto geometrického útvaru. preto trojuholníkmá tri osi. Pozri nižšie:
Bod, v ktorom sa stretávajú osy trojuholníka, sa nazýva circumcenter., keďže ide o stred kružnice opísanej trojuholníku (teda kružnice, ktorá prechádza tromi vrcholmi trojuholníka).
Dôležité:Keďže stred obvodu je bod spoločný pre tri kolmé osy, jeho vzdialenosť od každého z vrcholov je rovnaká. V matematickej symbolike ak D je stred obvodu trojuholníka ABC, potom \(AD=BD=CD\).
Rozdiely medzi osou, stredom, osou a výškou trojuholníka
Stred, stred, stred a výška trojuholníka sú rôzne pojmy. Pozrime sa na každého jednotlivo a potom spoločne.
Osa trojuholníka: je čiara kolmá na jednu zo strán, ktorá pretína jej stred.
Stred trojuholníka: je úsečka s koncovými bodmi vo vrchole trojuholníka a v strede strany protiľahlej k vrcholu.
Osa trojuholníka: je segment, ktorý sa delí na polovicu uhly strany trojuholníka s koncovými bodmi na jednom z vrcholov a na opačnej strane.
Výška trojuholníka: je segment kolmý na jednu zo strán s koncom pod uhlom oproti strane.
Na nasledujúcom obrázku zvýrazníme vo vzťahu k segmentu BC trojuholníka výšku (prerušovaná čiara v oranžovej farbe), os (prerušovaná čiara vo fialovej), stred (prerušovaná čiara v zelenej farbe) a kolmá os (plná čiara v červená).
Dôležité: Na a rovnostranný trojuholník, to znamená, že má tri strany a tri uhly rovnaké, osi, mediány, osi a výšky sa zhodujú. V dôsledku toho, pozoruhodné body trojuholníka (cirkumcentrum, barycentrum, incentrum a ortocentrum) sa tiež zhodujú. Na obrázku nižšie zvýrazníme vo vzťahu k segmentu BC stred, stred, stred a výšku súvislou čiernou čiarou. Zvýraznený bod E je teda stred kružnice, barycentrum, stred a ortocentrum trojuholníka ABC.
Pozri tiež: Metrické vzťahy v vpísanom rovnostrannom trojuholníku — čo sú to?
Vyriešené cvičenia na osi
Otázka 1
Zvážte tvrdenia uvedené nižšie.
i. Osa trojuholníka je úsečka, ktorá začína vo vrchole a prechádza stredom opačnej strany.
II. Bod, v ktorom sa stretávajú osy trojuholníka, sa nazýva circumcenter. Tento bod je stredom kružnice opísanej trojuholníku a je rovnako vzdialený od vrcholov.
III. Osa úsečky je kolmá čiara, ktorá pretína úsečku v strede.
Ktorá alternatíva obsahuje tú správnu?
A) Len ja.
B) II, len.
C) III, len.
D) I a II.
E) II a III.
Rozhodnutie:
Alternatíva E
Výrok I je jediný nesprávny, pretože opisuje stred trojuholníka.
otázka 2
(Enem — prispôsobené) Televízia prešla v posledných rokoch skutočnou revolúciou v oblasti kvality obrazu, zvuku a interaktivity s divákom. Táto transformácia je spôsobená konverziou analógového signálu na digitálny signál. Mnohé mestá však túto novú technológiu stále nemajú. V snahe priniesť tieto výhody trom mestám má televízna stanica v úmysle postaviť novú vysielaciu vežu, ktorá vysiela signál do antén A, B a C, ktoré už v týchto mestách existujú. Umiestnenie antény je znázornené v karteziánskej rovine:
Veža musí byť umiestnená v rovnakej vzdialenosti od troch antén. Vhodné miesto na stavbu tejto veže zodpovedá bodu súradníc
A) (65, 35).
B) (53, 30).
C) (45, 35).
D) (50, 20).
E) (50, 30).
Rozhodnutie:
Alternatíva E
Všimnite si, že umiestnenie veže musí byť stred po obvode trojuholníka tvoreného bodmi A, B a C, keďže ide o rovnako vzdialené umiestnenie troch antén.
Súradnice pre T vežu sú\( (x_t, y_t )\). Keďže T patrí do osi AB (dané priamkou x = 50), horizontálna poloha veže musí byť \(x_t=50\).
Na určenie horizontálnej súradnice \(y_t\) veže, môžeme použiť výraz pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi dvakrát. Keďže veža je rovnako vzdialená napríklad od vrcholov A a C (AT = CT), máme:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
Zjednodušenie, chápeme \(y_t=30\).
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteľ matematiky
