O apotéma mnohouholníka je segment s koncovými bodmi v strede mnohouholníka a v strede jednej zo strán. Tento segment tvorí s príslušnou stranou mnohouholníka uhol 90°.
Na výpočet miery apotému je potrebné zvážiť charakteristiky príslušného mnohouholníka. V závislosti od geometrického tvaru je možné zostrojiť vzorec na získanie tohto merania. Dôležitým pozorovaním je, že miera apotému pravidelného mnohouholníka sa rovná miere polomeru obvodu vpísaného do mnohouholníka.
Prečítajte si tiež: Čo je to bisektor?
Zhrnutie o apotheme
Apotém je segment mnohouholníka, ktorý spája stred (bod stretnutia kolmých osi) so stredom jednej zo strán.
Uhol medzi apotémom a príslušnou stranou mnohouholníka meria 90°.
Miera apotému pravidelného mnohouholníka sa rovná miere polomeru kružnice vpísanej do mnohouholníka.
Apotéma OM rovnostranného trojuholníka strany l je daný vzorcom
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotéma OM štvorca strany l je daný vzorcom
\(OM = \frac{l}2\)
Apotéma OM pravidelného šesťuholníka na jednej strane l je daný vzorcom
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Apotéma pyramídy je segment, ktorý spája vrchol so stredom jednej z hrán základne a jej mieru možno získať pomocou Pytagorovej vety.
Príklady apotémy
Aby sme našli apotém mnohouholníka, musíme zostrojiť úsečka spájajúca stred mnohouholníka so stredom jednej zo strán. Pamätajte, že stred mnohouholníka je miesto, kde sa stretávajú osi.
V týchto príkladoch bola apotéma uvažovaná v rovinných polygónoch. Existuje však vesmírny objekt, ktorý má iný druh apotémy: pyramída.
V pyramíde existujú dva typy apotému: apotéma základne, čo je apotéma mnohouholníka, ktorý tvorí základňu pyramídy, a apotéma pyramídy, ktorá je segment spájajúci vrchol so stredom hrany základne (to znamená, že je to výška bočnej plochy základne). pyramída).
V nižšie uvedenom príklade štvorcovej základne je segment OM apotém základne a segment VM je apotém pyramídy, pričom M je stred BC.
Aké sú vzorce pre apotém?
Keď poznáme charakteristiky mnohouholníka, najmä pravidelných mnohouholníkov, môžeme vytvoriť vzorce na výpočet miery apotému. Pozrime sa, aké sú tieto vzorce pre hlavné pravidelné polygóny.
Vzorec apotémy rovnostranného trojuholníka
Na prípad rovnostranného trojuholníka, výška a medián vzhľadom na danú stranu sú rovnaké. To znamená, že stred polygónu sa zhoduje s barycentrum trojuholníka. Bod O teda delí výšku AM takto:
\(AO = \frac{2}3:00\) to je \(OM=\frac{1}3:00\)
Pamätajte, že miera výška rovnostranného trojuholníka l je daný:
\(Výška\ trojuholník\ rovnostranný=\frac{l\sqrt3}2\)
Preto, keďže AM je výška rovnostranného trojuholníka ABC a úsečka OM je apotém trojuholníka, môžeme vypracovať nasledujúci výraz pre mieru OM, ak vezmeme do úvahy, že strana trojuholníka meria l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotéma štvorcového vzorca
V prípade námestia miera apotému zodpovedá polovici dĺžky strany. Ak je teda O stred štvorca, M je stred jednej zo strán a l je dĺžka strany štvorca, takže vzorec pre apotému OM je
\(OM=\frac{l}2\)
Pravidelný šesťuholníkový apotémový vzorec
V pravidelnom šesťuholníku apotém zodpovedá výške rovnostranného trojuholníka s vrcholmi na dvoch koncoch jednej zo strán a v strede mnohouholníka. V nižšie uvedenom príklade je apotéma OM pravidelného šesťuholníka výškou rovnostranného trojuholníka OCD, kde M je stredom CD.
Ako sme už spomenuli, výška rovnostranného trojuholníka je známa. Ak teda strana pravidelného šesťuholníka meria l, potom vzorec pre apotému OM je
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Formula Pyramid Apothem
Mieru apotému pyramídy možno získať pomocou Pomoc Pytagorovej vety. V nižšie uvedenom príklade v štvorcovej pyramíde je trojuholník VOM obdĺžnik s nohami VO a OM a preponou VM. Všimnite si, že VO je výška pyramídy, OM je apotém základne a VM je apotém pyramídy.
Aby sme teda určili mieru apotému pyramídy, musíme použiť Pytagorovu vetu:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Pozor! VM je výška rovnoramenného trojuholníka, nie rovnostranného trojuholníka. Takže v tomto prípade nemôžeme použiť vzorec pre výšku rovnostranného trojuholníka.
Ako sa vypočíta apotém?
Na výpočet apotému mnohouholníka alebo pyramídy môžeme použiť zostrojené vzorce alebo priradiť apotému k polomeru vpísanej kružnice.
Príklad 1: Predpokladajme, že kruh s polomerom 3 cm je vpísaný do rovnostranného trojuholníka. Aká je miera apotému tohto trojuholníka?
Keďže apotéma mnohouholníka má rovnakú mieru ako polomer vpísanej kružnice, apotéma trojuholníka meria 3 cm.
Príklad 2: Aká je miera apotému pravidelného šesťuholníka so stranou 4 cm?
Pomocou vzorca pre apotém pravidelného šesťuholníka s \(l=4\) cm, musíme
\(Measurement\ of\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Prečítajte si tiež: Všetko o významných bodoch trojuholníka
Vyriešené cvičenia na apotému
Otázka 1
Ak má pyramída vysoká 4 cm základňu pyramídy 3 cm, potom je miera apotémy pyramídy
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Rozhodnutie:
V pyramíde môžeme zostrojiť pravouhlý trojuholník, v ktorom je jedna noha apotéma základne, druhá noha je výška pyramídy a prepona je apotéma pyramídy. Ak teda použijeme Pytagorovu vetu na preponu miery x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternatíva A.
otázka 2
Ak je apotém štvorca y cm, potom strana štvorca je
) \(\frac{1}3r \) cm
B) \(\frac{1}2r \) cm
c) y cm
d) 2 roky cm
e) 3 roky cm
Rozhodnutie
Apotéma štvorca je polovica dĺžky strany štvorca. Ak teda apotém meria y cm, štvorec meria 2y cm.
Alternatíva D.
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteľ matematiky