O apotéma mnohouholníka je segment s koncovými bodmi v strede mnohouholníka a v strede jednej zo strán. Tento segment tvorí s príslušnou stranou mnohouholníka uhol 90°.
Na výpočet miery apotému je potrebné zvážiť charakteristiky príslušného mnohouholníka. V závislosti od geometrického tvaru je možné zostrojiť vzorec na získanie tejto miery. Dôležitým pozorovaním je, že miera apotému pravidelného mnohouholníka sa rovná miere polomeru obvodu vpísaného do mnohouholníka.
Prečítajte si tiež: Čo je to bisektor?
Témy tohto článku
- 1 - Súhrn o apotheme
- 2 - Príklady apotémy
-
3 - Aké sú vzorce apotémy?
- Vzorec apotémy rovnostranného trojuholníka
- Apotéma štvorcového vzorca
- Pravidelný šesťuholníkový apotémový vzorec
- Formula Pyramid Apothem
- 4 - Ako sa vypočíta apotém?
- 5 - Vyriešené cvičenia na apotém
Zhrnutie o apotheme
Apotém je segment mnohouholníka, ktorý spája stred (bod stretnutia kolmých osi) so stredom jednej zo strán.
Uhol medzi apotémom a príslušnou stranou mnohouholníka meria 90°.
Miera apotému pravidelného mnohouholníka sa rovná miere polomeru kružnice vpísanej do mnohouholníka.
Apotéma OM rovnostranného trojuholníka strany l je daný vzorcom
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotéma OM štvorca strany l je daný vzorcom
\(OM = \frac{l}2\)
Apotéma OM pravidelného šesťuholníka na jednej strane l je daný vzorcom
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Apotéma pyramídy je segment, ktorý spája vrchol so stredom jednej z hrán základne a jej mieru možno získať pomocou Pytagorovej vety.
Neprestávaj teraz... Po publicite je toho viac ;)
Príklady apotémy
Aby sme našli apotém mnohouholníka, musíme zostrojiť úsečka spájajúca stred mnohouholníka so stredom jednej zo strán. Pamätajte, že stred mnohouholníka je miesto, kde sa stretávajú osi.
V týchto príkladoch bola apotéma uvažovaná v rovinných polygónoch. Existuje však vesmírny objekt, ktorý má iný druh apotémy: pyramída.
V pyramíde existujú dva typy apotému: apotéma základne, čo je apotéma mnohouholníka, ktorý tvorí základňu pyramídy, a apotéma pyramídy, ktorá je segment spájajúci vrchol so stredom hrany základne (to znamená, že je to výška bočnej plochy základne). pyramída).
V nižšie uvedenom príklade štvorcovej základne je segment OM apotém základne a segment VM je apotém pyramídy, pričom M je stred BC.
Aké sú vzorce pre apotém?
Keď poznáme charakteristiky mnohouholníka, najmä pravidelných mnohouholníkov, môžeme vytvoriť vzorce na výpočet miery apotému. Pozrime sa, aké sú tieto vzorce pre hlavné pravidelné polygóny.
Vzorec apotémy rovnostranného trojuholníka
Na prípad rovnostranného trojuholníka, výška a medián vzhľadom na danú stranu sú rovnaké. To znamená, že stred polygónu sa zhoduje s barycentrum trojuholníka. Bod O teda delí výšku AM takto:
\(AO = \frac{2}3:00\) to je \(OM=\frac{1}3:00\)
Pamätajte, že miera výška rovnostranného trojuholníka l je daný:
\(Výška\ trojuholník\ rovnostranný=\frac{l\sqrt3}2\)
Preto, keďže AM je výška rovnostranného trojuholníka ABC a úsečka OM je apotém trojuholníka, môžeme vypracovať nasledujúci výraz pre mieru OM, ak vezmeme do úvahy, že strana trojuholníka meria l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotéma štvorcového vzorca
V prípade námestia miera apotému zodpovedá polovici dĺžky strany. Ak je teda O stred štvorca, M je stred jednej zo strán a l je dĺžka strany štvorca, takže vzorec pre apotému OM je
\(OM=\frac{l}2\)
Pravidelný šesťuholníkový apotémový vzorec
V pravidelnom šesťuholníku apotém zodpovedá výške rovnostranného trojuholníka s vrcholmi na dvoch koncoch jednej zo strán a v strede mnohouholníka. V nižšie uvedenom príklade je apotéma OM pravidelného šesťuholníka výškou rovnostranného trojuholníka OCD, kde M je stredom CD.
Ako sme už spomenuli, výška rovnostranného trojuholníka je známa. Ak teda strana pravidelného šesťuholníka meria l, potom vzorec pre apotému OM je
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Formula Pyramid Apothem
Mieru apotému pyramídy možno získať pomocou Pomoc Pytagorovej vety. V nižšie uvedenom príklade v štvorcovej pyramíde je trojuholník VOM obdĺžnik s nohami VO a OM a preponou VM. Všimnite si, že VO je výška pyramídy, OM je apotém základne a VM je apotém pyramídy.
Aby sme teda určili mieru apotému pyramídy, musíme použiť Pytagorovu vetu:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Pozor! VM je výška rovnoramenného trojuholníka, nie rovnostranného trojuholníka. Takže v tomto prípade nemôžeme použiť vzorec pre výšku rovnostranného trojuholníka.
Ako sa vypočíta apotém?
Na výpočet apotému mnohouholníka alebo pyramídy môžeme použiť zostrojené vzorce alebo priradiť apotému k polomeru vpísanej kružnice.
Príklad 1: Predpokladajme, že kruh s polomerom 3 cm je vpísaný do rovnostranného trojuholníka. Aká je miera apotému tohto trojuholníka?
Keďže apotéma mnohouholníka má rovnakú mieru ako polomer vpísanej kružnice, apotéma trojuholníka meria 3 cm.
Príklad 2: Aká je miera apotému pravidelného šesťuholníka so stranou 4 cm?
Pomocou vzorca pre apotém pravidelného šesťuholníka s \(l=4\) cm, musíme
\(Measurement\ of\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Prečítajte si tiež: Všetko o významných bodoch trojuholníka
Vyriešené cvičenia na apotému
Otázka 1
Ak má pyramída vysoká 4 cm základňu pyramídy 3 cm, potom je miera apotémy pyramídy
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Rozhodnutie:
V pyramíde môžeme zostrojiť pravouhlý trojuholník, v ktorom je jedna noha apotéma základne, druhá noha je výška pyramídy a prepona je apotéma pyramídy. Ak teda použijeme Pytagorovu vetu na preponu miery x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternatíva A.
otázka 2
Ak je apotém štvorca y cm, potom strana štvorca je
) \(\frac{1}3r \) cm
B) \(\frac{1}2r \) cm
c) y cm
d) 2 roky cm
e) 3 roky cm
Rozhodnutie
Apotéma štvorca je polovica dĺžky strany štvorca. Ak teda apotém meria y cm, štvorec meria 2y cm.
Alternatíva D.
Autor: Maria Luiza Alves Rizzo
Učiteľ matematiky
Chceli by ste na tento text odkazovať v školskej alebo akademickej práci? Pozri:
RIZZO, Maria Luiza Alves. "Apotém"; Brazílska škola. Dostupné v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/apotema.htm. Sprístupnené 16. mája 2023.
Pochopte, čo je barycentrum trojuholníka a ako ho vypočítať v karteziánskej rovine, okrem kontroly jeho vlastností.
Kliknite a zistite, ako zostaviť ohraničené mnohouholníky a dozviete sa viac o tomto vzťahu s obvodom.
Pochopiť, čo je šesťuholník a poznať jeho klasifikáciu, charakteristiky a vlastnosti. Naučte sa tiež vzorce na výpočet jeho plochy a obvodu.
Kliknite sem, zistite, čo je kolmica a zistite, ako ju postaviť. Naučte sa tiež rozdiely medzi kolmicou, stredom, stredom a výškou trojuholníka.
Pochopte, čo je pyramída a pozrite sa na jej hlavné prvky. Pozrite sa na rôzne typy pyramíd a ako vypočítať ich objem a plochu.
Zistite, čo je pravidelný mnohouholník a odlíšte pravidelné mnohouholníky od nepravidelných mnohouholníkov. Vypočítajte tiež plochu a obvod pravidelného mnohouholníka.
Naučte sa vypočítať stred úsečky pomocou analytickej geometrie!
Pozrite si tu pozoruhodné body trojuholníka a naučte sa jeho hlavné vlastnosti. Pozrite sa tiež, ako môžu tieto body uľahčiť riešenie niektorých problémov.
Kliknutím zistíte, čo sú štvorce, ich spoločné charakteristiky s inými geometrickými útvarmi a ich špecifické vlastnosti.
Pytagorova veta je jedným z najdôležitejších nástrojov pri štúdiu trojuholníkov. Kliknite sem, dozviete sa o jeho zložení a zistite, ako ho aplikovať!
