THE Vnútorná bisektorová veta bola vyvinutá špeciálne pre trojuholníky a ukazuje, že keď sledujeme vnútornú osi uhla trojuholníka, bod stretnutia osi s protiľahlou stranou rozdeľuje túto stranu na úsečky úmerné susedným stranám tohto uhla. S aplikáciou vnútornej bisektorovej vety je možné určiť hodnotu strany alebo segmentov trojuholníka pomocou pomeru medzi nimi.
Pozri tiež: Medián, os uhla a výška trojuholníka – aký je rozdiel?
Zhrnutie o vnútornej bisektorovej vete:
Osa je a lúč ktorý delí uhol na dva zhodné uhly.
Vnútorná bisektorová veta je špecifická pre trojuholníky.
Táto veta dokazuje, že osi rozdeľuje opačnú stranu na proporcionálne segmenty na priľahlé strany uhol.
Video lekcia o vnútornej bisektorovej vete
Čo je to bisektorová veta?
Predtým, ako pochopíme, čo hovorí teorém vnútornej osy, je dôležité vedieť, čo to je os uhla. Je to lúč, ktorý rozdeľuje uhol na dve zhodné časti., teda dve časti, ktoré majú rovnakú mieru.
Keď pochopíme, čo je stred, všimneme si, že existuje vo vnútornom uhle trojuholníka. Keď ohraničíme os uhla trojuholníka, rozdelí opačnú stranu na dva segmenty. Čo sa týka vnútornej osi,
jeho veta hovorí, že dva úsečky ním rozdelené sú úmerné susedným stranám uhla.
Všimnite si, že os rozdeľuje stranu AC na dva segmenty, AD a DC. Ukazuje to teorém osy:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Vedieť viac: Pythagorova veta — ďalšia veta vyvinutá pre trojuholníky
Dôkaz vety o vnútornej osi
V trojuholníku ABC nižšie ohraničíme úsečku BD, ktorá je osou tohto trojuholníka. Ďalej budeme sledovať predĺženie jeho strany CB a segmentu AE, paralelne s BD:
Uhol AEB je zhodný s uhlom DBC, pretože CE je a rovno priečne k paralelným segmentom AE a BD.
uplatňovanie Thalesova vetasme dospeli k záveru, že:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Teraz my zostáva ukázať, že BE = AB.
Pretože x je miera uhla ABD a DBC, analyzovaním uhla ABE dostaneme:
ABE = 180 - 2x
Ak je y mierou uhla EAB, máme nasledujúcu situáciu:
Vieme, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka ABE je 180°, takže môžeme vypočítať:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Ak majú uhol x a uhol y rovnakú veľkosť, trojuholník ABE je rovnoramenné. Preto strana AB = AE.
Keďže súčet vnútorných uhlov trojuholníka je vždy rovný 180°, v trojuholníku ACE máme:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Pretože y = x, trojuholník ACE je rovnoramenný. Preto sú segmenty AE a AC zhodné. Výmena AE za AC vstup dôvod, je dokázané, že:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Príklad:
Nájdite hodnotu x v nasledujúcom trojuholníku:
Analýzou trojuholníka dostaneme nasledujúci pomer:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Krížové násobenie:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Prečítajte si tiež: Pozoruhodné body trojuholníka – čo sú zač?
Vyriešené úlohy o vnútornej bisektorovej vete
Otázka 1
Pri pohľade na trojuholník nižšie môžeme povedať, že hodnota x je:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Rozhodnutie:
Alternatíva D
Aplikovaním vety o vnútornej osi dostaneme nasledujúci výpočet:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Krížové násobenie:
\(27x=18\ \vľavo (30-x\vpravo)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
otázka 2
Analyzujte nasledujúci trojuholník s vedomím, že vaše miery boli uvedené v centimetroch.
Obvod trojuholníka ABC sa rovná:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Rozhodnutie:
Alternatíva C
Použitím vety o osi najprv nájdeme hodnotu x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \vľavo (4x-9\vpravo)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Neznáme strany teda merajú:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Pripomínajúc si, že meracia dĺžka použitý bol cm, the obvod tohto trojuholníka sa rovná:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm