šesťuholník to je mnohouholník ktorý má 6 strán. Je pravidelné, keď sú všetky strany a vnútorné uhly navzájom zhodné. Je nepravidelný, keď nemá tieto vlastnosti. Prvý prípad je najviac študovaný, pretože keď je šesťuholník pravidelný, má špecifické vlastnosti a vzorce, ktoré nám umožňujú vypočítať jeho plochu, obvod a apotém.
Prečítajte si tiež: Čo je to Losangle?
Abstrakt o šesťuholníku
Šesťuholník je 6-stranný mnohouholník.
Je pravidelné, keď sú všetky strany zhodné.
Je nepravidelné, keď všetky strany nie sú zhodné.
V pravidelnom šesťuholníku meria každý vnútorný uhol 120°.
Súčet uhly vonkajšie okraje pravidelného šesťuholníka sú vždy 360°.
Na výpočet plochy pravidelného šesťuholníka používame vzorec:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O obvod šesťuholníka je súčet jeho strán. Keď je to pravidelné, máme:
P = 6 1
Apotém pravidelného šesťuholníka sa vypočíta podľa vzorca:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Čo je šesťuholník?
Šesťuholník je akýkoľvek mnohouholník, ktorý má 6 strán, teda 6 vrcholov a 6 uhlov. Keďže ide o mnohouholník, ide o uzavretý plochý obrazec so stranami, ktoré sa nepretínajú. Šesťuholník je v prírode opakujúci sa tvar, ako v plástoch, v štruktúrach
organická chémia, v pancieroch niektorých korytnačiek a v snehových vločkách.Video lekcia o mnohouholníkoch
šesťuholníkové prvky
Šesťuholník sa skladá zo 6 strán, 6 vrcholov a 6 vnútorných uhlov.
Vertices: body A, B, C, D, E, F.
strany: segmenty \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Vnútorné uhly: uhly a, b, c, d, f.
Klasifikácia šesťuholníkov
Šesťuholníky, podobne ako iné mnohouholníky, možno klasifikovať dvoma spôsobmi.
pravidelný šesťuholník
Šesťuholník je pravidelný, keď má všetky jeho zhodné strany — v dôsledku toho budú ich uhly tiež zhodné. Pravidelný šesťuholník je najdôležitejší zo všetkých a je najviac skúmaný. Pomocou špecifických vzorcov je možné vypočítať niekoľko jej aspektov, napríklad plochu.
Pozorovanie: Pravidelný šesťuholník možno rozdeliť na 6 rovnostranné trojuholníky, teda trojuholníky so všetkými rovnakými stranami.
→ nepravidelný šesťuholník
Nepravidelný šesťuholník je ten, ktorý má strany s rôznymi opatreniami. Môže byť konvexný alebo nekonvexný.
konvexný nepravidelný šesťuholník
šesťuholník je konvexné keď máte všetko vnútorné uhly menšie ako 180°.
→ Nepravidelný nekonvexný šesťuholník
Šesťuholník nie je konvexný, keď má vnútorné uhly väčšie ako 180°.
vlastnosti šesťuholníka
→ Počet uhlopriečok v šesťuholníku
Prvá dôležitá vlastnosť je tá v konvexnom šesťuholníku je vždy 9 uhlopriečok. Môžeme nájsť týchto 9 uhlopriečok geometricky:
Diagonály môžeme nájsť aj algebraicky pomocou nasledujúceho vzorca:
\(d=\frac{n\left (n-3\right)}{2}\)
Ak do rovnice dosadíme 6, máme:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Takže konvexný šesťuholník bude mať vždy 9 uhlopriečok.
Vedieť viac: Obdĺžniková bloková uhlopriečka — segment spájajúci dva jeho vrcholy, ktoré nie sú na rovnakej ploche
→ Vnútorné uhly šesťuholníka
V šesťuholníku, súčet jeho vnútorných uhlov je 720°. Ak chcete vykonať tento súčet, jednoducho nahraďte 6 vo vzorci:
\(S_i=180\vľavo (n-2\vpravo)\)
\(S_i=180\vľavo (6-2\vpravo)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
V pravidelnom šesťuholníku budú vnútorné uhly vždy merať 120°, pretože
720°: 6 = 120°
→ Vonkajšie uhly pravidelného šesťuholníka
Čo sa týka vonkajších uhlov, vieme, že Ich súčet sa vždy rovná 360°. Keďže je k dispozícii 6 vonkajších uhlov, každý z nich bude merať 60°, ako
360°: 6 = 60°
→ Pravidelný šesťuholníkový apotém
Za apotém pravidelného mnohouholníka sa považujeúsečka spájajúcej stred polygónu s stredný bod na tvojej strane. Ako vieme, pravidelný šesťuholník sa skladá zo 6 rovnostranných trojuholníkov, takže apotém zodpovedá výške jedného z týchto rovnostranných trojuholníkov. Hodnotu tohto segmentu možno vypočítať podľa vzorca:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ obvod šesťuholníka
Ak chcete vypočítať obvod šesťuholníka, jednoducho vykonajte súčet jeho 6 strán. Keď je šesťuholník pravidelný, jeho strany sú zhodné, takže je možné vypočítať obvod šesťuholníka pomocou vzorca:
P = 6 1
→ pravidelná šesťuholníková plocha
Keďže vieme, že pravidelný šesťuholník sa skladá zo 6 rovnostranných trojuholníkov so stranami merajúcimi L, je možné odvodiť vzorec na výpočet jeho plochy pomocou výpočtu oblasť jedného trojuholník rovnostranný vynásobený 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Všimnite si, že je to možné zjednodušenie delenie 2, potom sa vygeneruje vzorec na výpočet plochy šesťuholníka:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Šesťuholník vpísaný do kruhu
Hovoríme, že mnohouholník je vpísaný do a obvod keď on je vo vnútri kruhu a jeho vrcholy sú jeho bodmi. Môžeme znázorniť pravidelný šesťuholník vpísaný do kruhu. Keď urobíme toto znázornenie, je možné overiť, že dĺžka polomeru kruhu sa rovná dĺžke strany šesťuholníka.
Tiež vedieť: Kruh a obvod – aký je rozdiel?
Šesťuholník opísaný v kruhu
Hovoríme, že mnohouholník je opísaný kružnici, keď obvod je vo vnútri tohto mnohouholníka. Môžeme znázorniť opísaný pravidelný šesťuholník. V tomto prípade je kružnica dotyčnicou k stredu každej strany šesťuholníka, čím sa polomer kružnice rovná apotému šesťuholníka.
hranol na báze šesťuholníka
THE Rovinná geometria je základom pre štúdium Priestorová geometria. O šesťuholník môže byť prítomný na báze geometrických telies, ako v hranoloch.
Ak chcete zistiť objem a hranol, vypočítame súčin plochy základne a výšky. Keďže jeho základňou je šesťuholník, jeho objem možno vypočítať podľa:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Prečítajte si tiež: Objem geometrických telies — ako vypočítať?
Šesťhranná základná pyramída
Okrem šesťhranného hranolu, tam sú tiež pyramídy šesťhranná základňa.
objaviť objem pyramídy šesťhrannej základne vypočítame súčin plochy základne, výšky a vydelíme 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Všimnite si, že násobíme a delíme tromi, čo umožňuje a zjednodušenie. Objem pyramídy na báze šesťuholníka sa teda vypočíta podľa vzorca:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Vyriešené cvičenia na šesťuholníku
Otázka 1
Krajina má tvar pravidelného šesťuholníka. Túto oblasť chcete obkolesiť ostnatým drôtom tak, aby drôt obišiel územie 3-krát. S vedomím, že celkovo bolo vynaložených 810 metrov drôtu na uzavretie celej krajiny, plocha tohto šesťuholníka meria približne:
(Použiť \(\sqrt3=1,7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Rozhodnutie:
Alternatíva B
Obvod pravidelného šesťuholníka je
\(P=6L\)
Keďže sa odjazdili 3 kolá, na dokončenie jedného kola sa strávilo celkovo 270 metrov, pretože vieme, že:
810: 3 = 270
Takže máme:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ metrov\)
Keď poznáme dĺžku strany, vypočítame plochu:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037,5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75m^2\)
Zaokrúhlením dostaneme:
\(A\približne 5164 m^2\)
otázka 2
(PUC - RS) Pre mechanický prevod chcete vyrobiť diel s pravidelným šesťhranným tvarom. Vzdialenosť medzi rovnobežnými stranami je 1 cm, ako je znázornené na obrázku nižšie. Strana tohto šesťuholníka meria ______ cm.
THE) \(\frac{1}{2}\)
b) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
Ç) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Rozhodnutie:
Alternatíva B
Pokiaľ ide o pravidelný šesťuholník, vieme, že jeho apotém je miera od stredu k stredu jednej zo strán. Apotém je teda polovičnou vzdialenosťou naznačenou na obrázku. Takže musíme:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Apotém sa potom rovná \(\frac{1}{2}\). Medzi stranami šesťuholníka a apotému existuje vzťah, pretože v pravidelnom šesťuholníku máme:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Keďže poznáme hodnotu apotému, môžeme nahradiť \(a=\frac{1}{2}\) v rovnici:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Racionalizácia zlomku:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
