Vektor je zobrazenie, ktoré určuje veľkosť, smer a smer vektorovej veličiny. Vektory sú priame segmenty orientované šípkou na jednom konci.
Vektory pomenujeme písmenom a malou šípkou.
Vektory charakterizujú vektorové veličiny, čo sú veličiny, ktoré potrebujú orientáciu, teda smer a smer. Niektoré príklady sú: sila, rýchlosť, zrýchlenie a posunutie. Číselná hodnota nestačí, je potrebné popísať, kde tieto veličiny pôsobia.
modul vektora
Modul alebo intenzita vektora je jeho číselná hodnota, za ktorou nasleduje jednotka merania veľkosti, ktorú predstavuje, napríklad:
Modul označujeme medzi pruhmi, pričom držíme šípku alebo len písmeno, bez pruhov a bez šípky.
Dĺžka vektora je úmerná modulu. Väčší vektor predstavuje väčší modul.
vektorový modul je 4 jednotky, zatiaľ čo vektor
sú 2 jednotky.
Smer vektora
Smer vektora je sklon nosnej čiary, na ktorej je určený. Pre každý vektor existuje len jeden smer.
zmysel pre vektor
Smer vektora je znázornený šípkou. Rovnaký smer môže obsahovať dva smery, napríklad hore alebo dole a doľava alebo doprava.
Po prijatí smeru ako kladného je opačný smer, záporný, označený znamienkom mínus pred symbolom vektora.
Výsledný vektor
Výsledný vektor je výsledkom vektorových operácií a je ekvivalentný množine vektorov. Je vhodné poznať vektor, ktorý predstavuje účinok vytvorený viac ako jedným vektorom.
Napríklad teleso môže byť vystavené množstvu síl a my chceme poznať výsledok, ktorý spolu vytvoria na tomto telese. Každá sila je reprezentovaná vektorom, ale výsledok môže byť reprezentovaný iba jedným vektorom: výsledným vektorom.
Výsledný vektor, , horizontálneho smeru a smeru doprava, je výsledkom sčítania a odčítania vektorov.
,
,
a
. Výsledný vektor ukazuje tendenciu tela pohybovať sa v tejto orientácii.
Vektory s vertikálnym smerom majú rovnakú veľkosť, teda rovnaký modul. Keďže majú opačný význam, navzájom sa rušia. To ukazuje, že nedôjde k žiadnemu pohybu prepravky vo vertikálnom smere.
Pri analýze vektorov a
, ktoré majú rovnaký smer a opačné smery, uvedomíme si, že časť sily „zostáva“ vpravo, ako vektor
je väčší ako
, teda modul z
je to väčšie.
Na určenie výsledného vektora vykonávame operácie sčítania a odčítania vektorov.
Sčítanie a odčítanie vektorov s rovnakým smerom
s rovnaké zmysly, pridáme moduly a zachováme smer a smer.
Príklad:
Graficky umiestnime vektory v poradí bez toho, aby sme menili ich moduly. Začiatok jedného sa musí zhodovať s koncom druhého.
Platí komutatívna vlastnosť sčítania, pretože poradie nemení výsledok.
s opačné zmysly, odpočítame moduly a ponecháme smer. Smer výsledného vektora je smer vektora s najväčším modulom.
Príklad:
vektor je zvyšná časť
, po stiahnutí
.
Odčítanie jedného vektora je ekvivalentné sčítaniu s opačným vektorom.
Sčítanie a odčítanie kolmých vektorov
Ak chcete pridať dva vektory s kolmými smermi, posunieme vektory bez zmeny ich modulu tak, aby sa začiatok jedného zhodoval s koncom druhého.
Výsledný vektor spája začiatok prvého s koncom druhého.
Aby sme určili veľkosť výsledného vektora medzi dvoma kolmými vektormi, priradíme začiatok dvoch vektorov.
Modul výsledného vektora je určený Pytagorovou vetou.
Sčítanie a odčítanie šikmých vektorov
Dva vektory sú šikmé, keď zvierajú medzi svojimi smermi uhol iný ako 0°, 90° a 180°. Na sčítanie alebo odčítanie šikmých vektorov sa používajú metódy rovnobežníka a polygonálnych čiar.
paralelogramová metóda
Ak chcete vykonať metódu alebo pravidlo rovnobežníka medzi dvoma vektormi a nakresliť výsledný vektor, postupujte takto:
Prvým krokom je umiestniť ich počiatky do rovnakého bodu a nakresliť čiary rovnobežné s vektormi, aby sa vytvoril rovnobežník.
Druhým je nakreslenie diagonálneho vektora na rovnobežník medzi zjednotením vektorov a zjednotením rovnobežných čiar.
Bodkované čiary sú rovnobežné s vektormi a vytvorený geometrický útvar je rovnobežník.
Výsledný vektor je čiara spájajúca počiatok vektorov s rovnobežkami.
O modul výsledného vektora sa získava kosínovým zákonom.
Kde:
R je veľkosť výsledného vektora;
a je vektorový modul ;
b je modul vektora ;
je uhol, ktorý zvierajú smery vektorov.
Na sčítanie dvojice vektorov sa používa metóda rovnobežníka. Ak chcete pridať viac ako dva vektory, musíte ich pridať dva po dvoch. K vektoru, ktorý je výsledkom súčtu prvých dvoch, pridáme tretí atď.
Ďalším spôsobom, ako pridať viac ako dva vektory, je použiť metódu polygónovej čiary.
metóda polygonálnych čiar
Metóda polygonálnej čiary sa používa na nájdenie vektora, ktorý je výsledkom pridávania vektorov. Táto metóda je užitočná najmä pri pridávaní viac ako dvoch vektorov, ako sú napríklad nasledujúce vektory ,
,
a
.
Aby sme mohli použiť túto metódu, musíme usporiadať vektory tak, aby sa koniec jedného (šípka) zhodoval so začiatkom druhého. Je dôležité zachovať modul, smer a smer.
Po usporiadaní všetkých vektorov vo forme polygonálnej čiary musíme sledovať výsledný vektor, ktorý ide od začiatku prvého do konca posledného.
Je dôležité, aby výsledný vektor uzatváral mnohouholník, pričom jeho šípka sa zhoduje so šípkou v poslednom vektore.
Komutatívna vlastnosť je platná, pretože poradie, v ktorom umiestnime vektory grafu, nemení výsledný vektor.
vektorový rozklad
Rozložiť vektor znamená napísať komponenty, ktoré tvoria tento vektor. Tieto zložky sú ďalšie vektory.
Každý vektor možno zapísať ako zloženie iných vektorov prostredníctvom súčtu vektorov. Inými slovami, vektor môžeme napísať ako súčet dvoch vektorov, ktoré nazývame komponenty.
Pomocou karteziánskeho súradnicového systému, s kolmými osami x a y, určíme zložky vektora.
vektor je výsledkom súčtu vektorov medzi zložkovými vektormi.
a
.
vektor nakloniť
tvorí pravouhlý trojuholník s osou x. Moduly zložkových vektorov teda určujeme pomocou trigonometrie.
Komponentný modul ax.
Modul komponentu ay.
vektorový modul sa získava z Pytagorovej vety.
Príklad
Sila sa vykonáva ťahaním bloku zo zeme. Modulová sila 50 N je naklonená o 30° od horizontály. Určte horizontálnu a vertikálnu zložku tejto sily.
údaje:
Násobenie reálneho čísla vektorom
Vynásobením reálneho čísla vektorom bude výsledkom nový vektor, ktorý má nasledujúce charakteristiky:
- Rovnaký smer, ak je reálne číslo nenulové;
- Rovnakým smerom, ak je reálne číslo kladné, a opačným smerom, ak je záporné;
- Modul bude súčinom modulu reálneho čísla a modulu vynásobeného vektora.
Súčin medzi reálnym číslom a vektorom
Kde: je vektor, ktorý je výsledkom násobenia;
je skutočné číslo;
je vektor, ktorý sa násobí.
Príklad
Nech reálne číslo n = 3 a vektor modulo 2 sa súčin medzi nimi rovná:
Výpočet modulu
Smer a smer budú rovnaké.
Cvičenie 1
(Enem 2011) Trecia sila je sila, ktorá závisí od kontaktu medzi telesami. Možno ju definovať ako opačnú silu k tendencii vychýlenia telies a vzniká v dôsledku nepravidelností medzi dvoma povrchmi, ktoré sú v kontakte. Na obrázku šípky predstavujú sily pôsobiace na telo a zväčšená bodka predstavuje nepravidelnosti, ktoré existujú medzi týmito dvoma povrchmi.
Na obrázku sú vektory, ktoré predstavujú sily, ktoré spôsobujú posunutie a trenie, v tomto poradí:
) 
B) 
ç) 
d) 
a) 
Správna odpoveď: písmeno a) 
Šípky predstavujú vektory síl, ktoré pôsobia pri pohybe v horizontálnom smere, keďže ide o dvojicu akčná reakcia, majú opačné smery.
Vertikálne šípky predstavujú pôsobenie sily hmotnosti a normálnej sily a keďže sú rovnaké, navzájom sa rušia bez pohybu vo vertikálnom smere.
Cvičenie 2
(UEFS 2011) Vektorový diagram na obrázku znázorňuje sily, ktorými pôsobia dve gumičky na zub osoby podstupujúcej ortodontickú liečbu.
Za predpokladu, že F = 10,0 N, sen45° = 0,7 a cos45° = 0,7, intenzita sily pôsobiacej elastikami na zub v N sa rovná
a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45
Správna odpoveď: c) 2√85
Intenzitu sily aplikovanej na zub získavame pomocou kosínového zákona.
a a b sa rovnajú 10 N.
Faktorizácia druhej odmocniny nám dáva:
Preto intenzita výslednej sily pôsobiacej gumičkami na zub je .
Cvičenie 3
(PUC RJ 2016) Sily F1, F2, F3 a F4 na obrázku zvierajú navzájom pravé uhly a ich moduly sú 1 N, 2 N, 3 N a 4 N.
Vypočítajte modul čistej sily v N.
a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10
Správna odpoveď: d) 2√ 2
Na určenie výsledného vektora používame metódu polygonálnej čiary. Aby sme to dosiahli, preusporiadame vektory tak, aby sa koniec jedného zhodoval so začiatkom druhého, takto:
Pomocou súradnicového systému s počiatkom na začiatku výsledného vektora môžeme určiť moduly jeho komponentov takto:
Preto musíme:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N
Veľkosť výsledného vektora je určená Pytagorovou vetou.
Preto je modul čistej sily rovný .
naučiť sa viac o
- Vektory: sčítanie, odčítanie a rozklad.
- Vektorové množstvá
✖
