An polynomiálna rovnica sa vyznačuje tým, že má a polynóm rovná nule. Dá sa charakterizovať stupňom polynómu a čím väčší je tento stupeň, tým väčšia je miera obtiažnosti pri hľadaní jeho riešenia alebo koreňa.
V tomto kontexte je tiež dôležité pochopiť, čo je základná veta algebry, ktorá to hovorí každá polynomická rovnica má aspoň jedno komplexné riešenie, inými slovami: rovnica prvého stupňa bude mať aspoň jedno riešenie, rovnica druhého stupňa aspoň dve riešenia atď.
Prečítajte si tiež: Aké sú triedy polynómov?
Čo je to polynomická rovnica
Polynómová rovnica je charakterizovaná tým, že má polynóm rovný nule, teda každý výraz typu P(x) = 0 je polynomická rovnica, kde P(x) je polynóm. Nižšie je uvedený všeobecný prípad polynomickej rovnice a niekoľko príkladov.
Zvážteč, an-1, a n -2, …, The1, a0 a x reálne číslaa n je kladné celé číslo, nasledujúci výraz je polynomická rovnica stupňa n.
- Príklad
Nasledujúce rovnice sú polynómy.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 - X2 + 4x + 3 = 0
Podobne ako polynómy, aj polynómové rovnice majú svoj stupeň. Na určenie stupňa polynómovej rovnice stačí nájsť najvyššiu mocninu, ktorej koeficient sa líši od nuly. Preto rovnice predchádzajúcich položiek sú:
a) Rovnica je z štvrtý stupeň:3X4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Rovnica je z stredná škola:5X2 – 3 = 0.
c) Rovnica je z prvý stupeň:6X – 1 = 0.
d) Rovnica je z tretí stupeň: 7X3- X2 + 4x + 3 = 0.
Ako vyriešiť polynomickú rovnicu?
Spôsob riešenia polynomickej rovnice závisí od jej stupňa. Čím väčší je stupeň rovnice, tým je ťažšie ju vyriešiť. V tomto článku ukážeme metódu riešenia polynomických rovníc prvý stupeň, druhý stupeň a bisquare.
Polynomická rovnica prvého stupňa
Polynomická rovnica prvého stupňa je opísaná a polynóm 1. stupňa. Takže môžeme napísať rovnicu prvého stupňa vo všeobecnosti nasledovne.
Zvážte dve reálne čísla The a B s a ≠ 0 je nasledujúci výraz polynomickou rovnicou prvého stupňa:
ax + b = 0
Na vyriešenie tejto rovnice musíme použiť princíp ekvivalencie, teda všetko, čo je prevádzkované na jednej strane rovnosti, musí byť prevádzkované aj na strane druhej. Na určenie riešenia rovnice prvého stupňa musíme izolovať neznáme. Na tento účel je prvým krokom odstránenie B na ľavej strane rovnosti a potom odčítaťveslá b na oboch stranách rovnosti.
sekera + b - B = 0 - B
sekera = - b
Všimnite si, že hodnota neznámeho x nie je izolovaná, koeficient a je potrebné eliminovať z ľavej strany rovnosti, a preto obe strany vydeľme The.
- Príklad
Vyriešte rovnicu 5x + 25 = 0.
Na vyriešenie problému musíme použiť princíp ekvivalencie. Na uľahčenie procesu vynecháme písanie operácie na ľavej strane rovnosti, pričom ekvivalent potom povedať, že ideme „preniesť“ číslo na druhú stranu, pričom zmeníme znamienko (inverzná operácia).
Viac informácií o riešení tohto typu rovnice nájdete v našom texte: Rovnica prvého stupňa s neznámou.
Polynomická rovnica druhého stupňa
Polynomická rovnica druhého stupňa má charakteristiku a polynóm druhého stupňa. Uvažujme teda a, b a c reálne čísla s a ≠ 0. Rovnica druhého stupňa je daná takto:
sekera2 + bx + c = 0
Vaše riešenie je možné určiť pomocou metódy bhaskara alebo faktoringom. Ak sa chcete dozvedieť viac o rovniciach tohto typu, prečítajte si: Eqpôsobenie sdruhý grau.
→ Metóda Bhaskara
Pomocou Bhaskarovej metódy sú jej korene dané nasledujúcim vzorcom:
- Príklad
Nájdite riešenie rovnice x2 – 3x + 2 = 0.
Všimnite si, že koeficienty rovnice sú a = 1, b = – 3 a c = 2. Nahradením týchto hodnôt vo vzorci musíme:
→ Faktorizácia
Vidieť, že je možné faktor x2 – 3x + 2 = 0 pomocou myšlienky o rozklad polynómu.
X2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Všimnite si teraz, že máme súčin rovný nule a súčin sa rovná nule iba vtedy, ak sa jeden z faktorov rovná nule, takže musíme:
x – 2 = 0
x = 2
alebo
x - 1 = 0
x = 1
Vidíte, že sme našli riešenie rovnice pomocou dvoch rôznych metód.
dvojkvadrátová rovnica
THE dvojkvadrátová rovnica je to a konkrétny prípad polynomickej rovnice štvrtého stupňa, normálne by bola rovnica štvrtého stupňa napísaná v tvare:
sekera4 + bx3 + krabica2 + dx + e = 0
kde sú čísla a B C d a a sú skutočné s ≠ 0. Rovnica štvrtého stupňa sa považuje za dvojštvorcovú, keď koeficienty b = d = 0, to znamená, že rovnica je v tvare:
sekera4 + krabica2 + a = 0
Pozrite si nižšie uvedený príklad, ako vyriešiť túto rovnicu.
- Príklad
Vyriešte rovnicu x4 – 10x2 + 9 = 0.
Na vyriešenie rovnice použijeme nasledujúcu neznámu zmenu a vždy, keď je rovnica štvorhranná, vykonáme túto zmenu.
X2 =p
Z dvojkvadrátovej rovnice si všimnite, že x4 = (x2)2 a preto musíme:
X4 – 10x2 + 9 = 0
(X2)2 – 10X2 + 9 = 0
pre2 – 10p + 9 = 0
Vidíte, že teraz máme polynomickú rovnicu druhého stupňa a môžeme použiť Bhaskarovu metódu, ako je táto:
Musíme si však uvedomiť, že na začiatku cvičenia bola vykonaná neznáma zmena, takže musíme použiť hodnotu zistenú v substitúcii.
X2 =p
Pre p = 9 máme toto:
X2 = 9
x' = 3
alebo
x’’ = – 3
Pre p = 1
X2 = 1
x' = 1
alebo
x’’ = – 1
Preto je množina riešení dvojkvadrátovej rovnice:
S = {3, –3, 1, –1}
Prečítajte si tiež: Praktická pomôcka Briota-Ruffiniho – delenie polynómov
Základná veta algebry (TFA)
Základná veta algebry (TFA), ktorú dokázal Gauss v roku 1799, uvádza, že každá polynomická rovnica, ako je uvedené nižšie, má aspoň jeden komplexný koreň.
Koreň polynomickej rovnice je jej riešením, to znamená, že neznáma hodnota je to, čo robí rovnosť pravdivou. Napríklad rovnica prvého stupňa má koreň už určený, rovnako ako rovnica druhého stupňa, ktorá má aspoň dva korene, a dvojkvadrát, ktorý má aspoň štyri korene.
vyriešené cvičenia
Otázka 1 – Určte hodnotu x, vďaka ktorej je rovnosť pravdivá.
2x – 8 = 3x + 7
Rozhodnutie
Všimnite si, že na vyriešenie rovnice je potrebné ju usporiadať, to znamená nechať všetky neznáme na ľavej strane rovnosti.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Princípom ekvivalencie môžeme obe strany rovnosti vynásobiť rovnakým číslom a keďže chceme zistiť hodnotu x, obe strany vynásobíme –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
otázka 2 – Marcos má o 20 R$ viac ako João. Spoločne sa im podarí kúpiť dva páry tenisiek, pričom každý pár stojí 80 R$ a nezostanú im žiadne peniaze. Koľko realov má Ján?
Rozhodnutie
Predpokladajme, že Mark má x realov, keďže John má o 20 realov viac, má teda x + 20.
Marks → x reals
João → (x + 20) reais
ako kupovali dva páry tenisiek ktorý stojí 80 realov, takže ak spojíme časti každého z nich, budeme musieť:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Mark mal teda 70 realov a João 90 realov.
od Robsona Luiza
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
