Volá sa funkcia polynomiálna funkcia, keď je jej zákon formovania a polynóm. Polynomické funkcie sú klasifikované podľa stupňa ich polynómu. Napríklad ak má polynóm, ktorý popisuje zákon formovania funkcie, stupeň dva, hovoríme, že ide o polynomiálnu funkciu druhého stupňa.
Na výpočet numerickej hodnoty polynomickej funkcie stačí nahraďte premennú požadovanou hodnotou, čím sa polynóm zmenil na číselný výraz. Pri štúdiu polynómových funkcií je grafické znázornenie dosť opakujúce sa. Polynomiálna funkcia 1. stupňa má graf vždy rovný priamke. Funkcia 2. stupňa má graf rovný parabole.
Prečítajte si tiež: Aké sú rozdiely medzi rovnicou a funkciou?
Čo je to polynomická funkcia?
Funkcia f: R → R je známa ako polynomiálna funkcia, keď zákon jej formovania je polynóm:
f (x) = ačXč +n-1Xn-1 +n-2Xn-2 +... +2X2 +1x + a0
Na čom:
x → je premenná.
n → je a prirodzené číslo.
Theč, an-1, an-2, ...2,1 a0 → sú koeficienty.
Koeficienty sú reálne čísla ktoré sprevádzajú polynomiálnu premennú.
Príklady:
f(x) = x5 + 3x4 - 3x3 + x² - x + 1
f(x) = -2x³ + x - 7
f(x) = x9
Ako určiť typ polynomiálnej funkcie?
Existuje niekoľko typov polynomiálnych funkcií. Ona je klasifikované podľa stupňa polynómu. Keď je stupeň 1, potom je funkcia známa ako polynomická funkcia 1. stupňa alebo polynomická funkcia 1. stupňa alebo tiež afinná funkcia. Príklady funkcií od stupňa 1 do stupňa 6 nájdete nižšie.
Pozri tiež: Čo je funkcia injektora?
stupeň polynomiálnej funkcie
To, čo definuje stupeň polynomiálnej funkcie, je stupeň polynómu, tak môžeme mať polynomiálnu funkciu ľubovoľného stupňa.
Polynomiálna funkcia stupňa 1
Aby polynomická funkcia bola buď 1. alebo 1. stupeň polynómu, zákon formovania funkcie musí byť f(x) = sekera + b, pričom a a b sú reálne čísla a a ≠ 0. THE polynomická funkcia stupňa 1 je tiež známa ako afinná funkcia.
Príklady:
f(x) = 2x - 3
f(x) = -x + 4
f(x) = -3x
Polynomiálna funkcia stupňa 2
Ak má byť polynomická funkcia polynóm druhého stupňa alebo polynóm druhého stupňa, znak zákon o formovaní funkcie musí byťf(x) = ax² + bx + c, pričom a, b a c sú reálne čísla a a ≠ 0. Jeden Polynomická funkcia 2. stupňa môže byť tiež známa ako kvadratická funkcia.
Príklady:
f(x) = 2x² - 3x + 1
f(x) = - x² + 2x
f(x) = 3x² + 4
f(x) = x²
Polynomiálna funkcia 3. stupňa
Aby polynomická funkcia bola 3. alebo 3. stupeň polynómu, zákon o formovaní funkcie musí byťf(x) = ax³ + bx² + cx + d, pričom a a b sú reálne čísla a a ≠ 0. Funkciu stupňa 3 možno nazvať aj kubickou funkciou.
Príklady:
f(x) = 2x³ - 3x² + 2x + 1
f(x) = -5x³ + 4x² + 2x
f(x) = 3x³ + 8x - 4
f(x) = -7x³
Polynomiálna funkcia 4. stupňa
Odôvodnenie pre polynomiálnu funkciu stupňa 4 aj pre ostatné je rovnaké.
Príklady:
f(x) = 2x4 + x³ - 5x² + 2x + 1
f(x) = x4 + 2x³ - x
f(x) = x4
Polynomiálna funkcia 5. stupňa
Príklady:
f(x) = x5 - 2x4 + x3 - 3x² + x + 9
f(x) = 3x5 + x3 – 4
f(x) = -x5
Polynomiálna funkcia stupňa 6
Príklady:
f(x) = 2x6 - 7x5 + x4 - 5x3 + x² + 2x - 1
f(x) = -x6 + 3x5 + 2x³ + 4x + 8
f(x) = 3x6 + 2x² + 5x
f(x) = x6
Číselná hodnota funkcie
Poznať zákon o formovaní rolí f(x), na výpočet numerickej hodnoty okupácia pre hodnotu nie, stačí vypočítať hodnotu f(č). Preto nahradili sme premennú vo formačnom zákone.
Príklad:
danú funkciu f(x) = x³ + 3x² - 5x + 4, nájdeme číselnú hodnotu funkcie pre x = 2.
Ak chcete zistiť hodnotu f(x) keď x = 2, urobíme to f(2).
f(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 12 – 10 + 4
f(2) = 20 – 10 + 4
f(2) = 10 + 4
f(2) = 14
Môžeme povedať, že obraz funkcie alebo číselná hodnota funkcie, keď x = 2, sa rovná 14.
Pozri tiež: Inverzná funkcia - skladá sa z inverznej funkcie f (x)
Polynomiálne funkčné grafy
Zastupovať v Karteziánske lietadlo funkciu, ktorú na osi x reprezentujeme, hodnoty x a obraz f(x), bodmi v rovine. Body na karteziánskej rovine sú typu (č, f(č)).
Príklad 1:
f(x) = 2x - 1
Graf funkcie 1. stupňa je vždy a rovno.
Príklad 2:
f(x) = x² - 2x - 1
Funkčný graf 2. stupňa je vždy a podobenstvo.
Príklad 3:
f(x) = x³ - x
Graf funkcie 3. stupňa je známy ako kubický.
Rovnosť polynómov
Aby boli dva polynómy rovnaké, je potrebné, aby sa pri vykonávaní funkcie Porovnanie medzi ty tvoj podmienky, koeficienty sú rovnaké.
Príklad:
Vzhľadom na nasledujúce polynómy p (x) a g (x) a s vedomím, že p (x) = g (x) nájdite hodnotu a, b, c a d.
p (x) = 2x³ + 5x² + 3x - 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c - 2) x + d
Pretože sú polynómy rovnaké, máme to:
ax³ = 2x³
(a + b) x² = 5x²
(c - 2) x = 3x
d = -4
Všimnite si, že už máme hodnotu d, pretože d = -4. Teraz, keď vypočítame každý z koeficientov, musíme:
ax³ = 2x³
a = 2
Keď poznáme hodnotu a, nájdime hodnotu b:
(a + b) x² = 5x²
a + b = 5
a = 2
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3
Nájdenie hodnoty c:
(c - 2) x = 3x
c - 2 = 3
c = 3 + 2
c = 5
Pozri tiež: Polynomiálna rovnica - Rovnica charakterizovaná tým, že má polynóm rovný 0
Polynomické operácie
Vzhľadom na dva polynómy je možné vykonávať operácie sčítanie, odčítanie a množenie medzi týmito algebraickými výrazmi.
Dodatok
Sčítanie dvoch polynómov sa počíta z súčet tyrpodobné ruky. Aby boli dva výrazy podobné, musí byť literálna časť (písmeno s exponentom) rovnaká.
Príklad:
Nech p (x) = 3x² + 4x + 5 a q (x) = 4x² - 3x + 2, vypočítajte hodnotu p (x) + q (x).
3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2
Zvýraznenie podobných výrazov:
3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2
Teraz pridajme koeficienty podobných výrazov:
(3 + 4) x² + (4 - 3) x + 7
7x² + x + 7
Polynomické odčítanie
Odčítanie je veľmi podobné ako sčítanie, ale pred vykonaním operácie píšeme opačný polynóm.
Príklad:
Údaje: p (x) = 2x² + 4x + 3 a q (x) = 5x² - 2x + 1, vypočítajte p (x) - q (x).
Opačným polynómom q (x) je -q (x), čo nie je nič iné ako polynóm q (x) s opakom každého z výrazov.
q (x) = 5x² - 2x + 1
-q (x) = -5x² + 2x - 1
Vypočítame teda:
2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1
Zjednodušením podobných výrazov máme:
(2 - 5) x² + (4 + 2) x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2
Polynomické násobenie
Násobenie polynómu vyžaduje uplatňovanie distribučného majetku, to znamená, že každý člen prvého polynómu vynásobíme každým členom druhého člena.
Príklad:
(x + 1) · (x² + 2x - 2)
Pri uplatňovaní distribučného majetku musíme:
x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)
X3 + 2x² + -2x - 2 + x² + 2x + -2
x³ + 3x² - 4
polynomické delenie
Pre výpočet rozdelenie medzi dva polynómy, použijeme rovnakú metódu, ktorú použijeme na výpočet rozdelenia dvoch čísel, metódu klávesov.
Príklad:
Vypočítajte p (x): q (x) s vedomím, že p (x) = 15x² + 11x + 2 a q (x) = 3x + 1.
Prečítajte si tiež: Šikovné zariadenie Briot-Ruffini - ďalšia metóda na výpočet rozdelenia polynómov
vyriešené cviky
Otázka 1 - Denné výrobné náklady automobilového priemyslu na výrobu určitého množstva dielov sú dané zákonom o formovaní f(x) = 25x + 100, kde x je počet kusov vyrobených v daný deň. S vedomím, že v daný deň bolo vyrobených 80 kusov, boli výrobné náklady na tieto kusy:
A) 300 BRL
B) BRL 2100
C) BRL 2000
D) 1800 BRL
E) BRL 1250
Rozhodnutie
Alternatíva B
f(80) = 25 · 80 + 100
f(80) = 2000 + 100
f(80) = 2100
Otázka 2 - Stupeň funkcie h (x) = f(X) · g(x), s vedomím toho f (x) = 2x² + 5x a g(x) = 4x - 5, je:
DO 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Rozhodnutie
Alternatíva C
Najskôr nájdeme polynóm, ktorý je výsledkom násobenia medzi f(X a g(X):
f(X) · g(x) = (2x² + 5x) · (4x - 5)
f(X) · g(x) = 8x³ - 10x² + 20x - 25x
Všimnite si, že toto je polynóm stupňa 3, takže stupeň funkcie h (x) je 3.
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm
