O Pascalov trojuholník je to dosť starý matematický nástroj. V priebehu histórie dostal viacero mien, no tie najprijímanejšie sú dnes aritmetický trojuholník a Pascalov trojuholník. Druhé meno je poctou matematikovi, ktorý niekoľkokrát prispel k štúdiu tohto trojuholníka. znamená, že trojuholník vynašiel on, ale bol to on, kto to urobil hlbšie nástroj.
Z vlastností Pascalovho trojuholníka je možné ho logicky zostrojiť. Tiež vyniká váš vzťah s kombinácie študoval v kombinatorickej analýze. Členy Pascalovho trojuholníka tiež zodpovedajú binomickým koeficientom, a preto je veľmi užitočný na výpočet akéhokoľvek Newtonovho binomického bodu.
Prečítajte si tiež: Briot-Ruffiniho prístroj - metóda delenia polynómov
Konštrukcia Pascalovho trojuholníka
Pascalov trojuholník sa vyrába z výsledku kombinácií, existuje však praktická metóda, ktorá uľahčuje spôsob, ako ju postaviť. Prvý riadok a prvý stĺpec sa počítajú ako riadok nula a stĺpec nula. Môžeme použiť toľko riadkov, koľko potrebujeme v tejto konštrukcii preto trojuholník môže mať nekonečné čiary. Zdôvodnenie vypracovania riadkov je vždy rovnaké. Pozri:
My to vieme trojuholníkové pojmy sú kombinácie, študoval v kombinatorická analýza. Pre nahradenie Pascalovho trojuholníka číselnými hodnotami vieme, že kombinácie čísla s nulou a čísla so sebou samým sú vždy rovné 1. Preto je prvá a posledná hodnota vždy 1.
Aby sme našli ostatné, začneme riadkom 2, keďže riadok 0 a riadok 1 sú už hotové. V riadku 2, aby sme našli kombináciu 2 až 1, v riadku vyššie, teda v riadku 1, pridajte výraz nad ním do rovnakého stĺpca a výraz nad ním do predchádzajúceho stĺpca, ako je znázornené na obrázku :
Po vybudovaní linky 2 je možné postaviť linku 3 vykonaním rovnakého postupu.
Pokračovaním v tomto postupe nájdeme všetky termíny – v tomto prípade až do riadku 5 – ale je možné postaviť toľko riadkov, koľko je potrebné.
Vlastnosti Pascalovho trojuholníka
Existujú nejaké vlastnosti Pascalovho trojuholníka, a to z dôvodu pravidelnosti pri jeho výstavbe. Tieto vlastnosti sú užitočné pri práci s kombináciami, samotnej konštrukcii trojuholníkových čiar a súčtu čiar, stĺpcov a uhlopriečok.
1. nehnuteľnosť
Prvá vlastnosť bola tá, ktorú sme použili na stavbu trojuholníka. Takže do nájdite člen v Pascalovom trojuholníku, stačí pridať výraz, ktorý je v riadku nad ním a rovnaký stĺpec s výrazom, ktorý je v stĺpci a riadku pred ním. Táto vlastnosť môže byť reprezentovaná nasledovne:
Táto vlastnosť je známa ako Stifelov vzťah a je dôležité uľahčiť konštrukciu trojuholníka a nájsť hodnoty každého z riadkov.
2. nehnuteľnosť
Súčet všetkých výrazov v rade sa vypočíta takto:
sč=2č, na čom č je číslo riadku.
Príklady:
S touto vlastnosťou je možné poznať súčet všetkých výrazov na riadku bez nutnosti zostrojiť Pascalov trojuholník. Napríklad súčet riadku 10 možno vypočítať ako 210 = 1024. Hoci nie sú známe všetky pojmy, už teraz je možné poznať súčtovú hodnotu celého riadku.
3. nehnuteľnosť
Súčet výrazov, ktoré sú zaradené od začiatku daného stĺpca pre až po určitú čiaru č je rovnaký ako výraz na riadku n+1 chrbát a stĺpik p+1 neskôr, ako je uvedené nižšie:
4. nehnuteľnosť
Súčet uhlopriečky, ktorá začína v stĺpci 0 a prechádza k termínu v stĺpci p a riadku n, sa rovná termínu v rovnakom stĺpci (p), ale v riadku nižšie (n+1), ako je znázornené na obrázku :
5. nehnuteľnosť
V čiarach Pascalovho trojuholníka je symetria. Prvý a druhý člen sa rovnajú, druhý a predposledný člen sa rovnajú atď.
Príklad:
Riadok 6: 1615 20 156 1.
Všimnite si, že výrazy sa rovnajú dva až dva, s výnimkou centrálneho výrazu.
Pozri tiež: Polynomické delenie: ako to vyriešiť?
Newtonov binom
Definujeme Newtonov binomický a sila jedného polynóm ktorý má dva termíny. Výpočet binomického celku súvisí s Pascalovým trojuholníkom, ktorý sa stáva mechanizmom na výpočet toho, čo nazývame binomické koeficienty. Na výpočet binomickej jednotky používame nasledujúci vzorec:
Všimnite si, že hodnota exponentu The klesá, až kým sa v poslednom termíne nerovná The0. Vieme, že každé číslo zvýšené na 0 sa rovná 1, preto ten výraz The nevyskytuje sa v poslednom termíne. Všimnite si tiež, že exponent B zacina s B0, čoskoro B neobjaví sa v prvom termíne a zvyšuje sa až do dosiahnutia Bč, v poslednom termíne.
Okrem toho, číslo, ktoré sprevádza každý z výrazov, je to, čo nazývame koeficient – v tomto prípade známy ako binomický koeficient. Ak chcete lepšie pochopiť, ako vyriešiť tento typ binomického výrazu, prejdite do nášho textu: Newtonov binom.
binomický koeficient
Binomický koeficient nie je nič iné ako kombinácia, ktorú možno vypočítať pomocou vzorca:
Na uľahčenie výpočtu Newtonovho binomu je však nevyhnutné použiť Pascalov trojuholník, pretože nám rýchlejšie poskytne výsledok kombinácie.
Príklad:
Aby sme našli výsledok binomického koeficientu, nájdime hodnoty riadku 5 Pascalovho trojuholníka, ktoré sú {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3r2+ 10x2r3 + 5xy4+1 r5
Jednoducho povedané:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3r2+ 10x2r3 + 5xy4+y5
vyriešené cvičenia
Otázka 1 - Hodnota nižšie uvedeného výrazu je?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Rozhodnutie
Alternatíva A.
Preskupením pozitívnych a negatívnych hodnôt musíme:
Všimnite si, že v skutočnosti počítame odčítanie medzi čiarou 4 a čiarou 3 Pascalovho trojuholníka. Podľa vlastnosti vieme, že:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Otázka 2 - Akú hodnotu má nižšie uvedený výraz?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Rozhodnutie
Alternatíva B.
Všimnite si, že pridávame výrazy zo stĺpca 1 Pascalovho trojuholníka do riadku 7 a potom do 3. vlastnosť, hodnota tohto súčtu sa rovná členu, ktorý zaberá riadok 7+1 a stĺpec 1+1, teda riadok 8, stĺpec 2. Keďže chceme iba jednu hodnotu, zostavenie celého Pascalovho trojuholníka nie je pohodlné.
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm