Matice: Komentované a vyriešené cvičenia

Matica je tabuľka tvorená reálnymi číslami, usporiadaná do riadkov a stĺpcov. Čísla, ktoré sa vyskytujú v matici, sa nazývajú prvky.

Využite vyriešené a komentované otázky spojené s prijímacími skúškami a vyčistite všetky svoje pochybnosti týkajúce sa tohto obsahu.

Problémy s prijímacími skúškami boli vyriešené

1) Unicamp - 2018

Nech a a b sú skutočné čísla také, aby matica A = spĺňa rovnicu A²= aA + bI, kde I je matica identity 2. rádu. Takže produkt ab sa rovná

a) -2.
b) -1.
c) 1.
d) 2.

Pozri odpoveď

Aby sme zistili hodnotu produktu a.b, najskôr musíme poznať hodnotu a a b. Uvažujme teda o rovnici uvedenej v úlohe.

Na vyriešenie rovnice vypočítajme hodnotu A², čo sa robí vynásobením matice A samotnou, to znamená:

Táto operácia sa vykoná vynásobením riadkov prvej matice stĺpcami druhej matice, ako je uvedené nižšie:

Týmto spôsobom matica A² je to rovnaké ako:

Ak vezmeme do úvahy hodnotu, ktorú sme práve našli, a pamätáme na to, že v matici identity sú prvky hlavnej uhlopriečky rovné 1 a ostatné prvky sú rovné 0, rovnica bude:

Teraz musíme vynásobiť maticu A číslom a a maticu identity číslom b.

Pamätajte, že na vynásobenie čísla poľom vynásobíme číslo každým prvkom poľa.

Naša rovnosť sa teda bude rovnať:

Po pridaní dvoch matíc máme:

Dve matice sú si rovné, keď sú si všetky zodpovedajúce prvky rovnaké. Týmto spôsobom môžeme napísať nasledujúci systém:

Izolácia a v druhej rovnici:

Dosadením hodnoty zistenej pre a v prvej rovnici nájdeme hodnotu b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Produkt teda bude daný:

The. b = - 1. 2
The. b = - 2

Alternatíva: a) -2.

2) Unesp - 2016

Bod P súradníc (x, y) ortogonálnej karteziánskej roviny predstavuje matica stĺpca. , ako aj maticu stĺpca predstavuje v ortogonálnej karteziánskej rovine bod P súradníc (x, y). Teda výsledok násobenia matice je stĺpcová matica, ktorá v ortogonálnej karteziánskej rovine nevyhnutne predstavuje bod, ktorý je

a) 180 ° rotácia P v smere hodinových ručičiek a so stredom v (0, 0).
b) rotácia P o 90 ° proti smeru hodinových ručičiek, so stredom v (0, 0).
c) symetrický k P vzhľadom na vodorovnú os x.
d) symetrický k P vzhľadom na vertikálnu os y.
e) rotácia P o 90 ° v smere hodinových ručičiek a so stredom v (0, 0).

Pozri odpoveď

Bod P je reprezentovaný maticou, takže úsečka (x) je označená prvkom a.₁₁ a súradnica (y) prvkom a₂₁ matice.

Na nájdenie novej polohy bodu P musíme vyriešiť násobenie prezentovaných matíc a výsledkom bude:

Výsledok predstavuje novú súradnicu bodu P, to znamená, že úsečka sa rovná -y a súradnica sa rovná x.

Aby sme identifikovali transformáciu, ktorá prešla polohou bodu P, predstavme situáciu v karteziánskej rovine, ako je uvedené nižšie:

Preto sa bod P, ktorý sa najskôr nachádzal v 1. kvadrante (kladná úsečka a súradnica), presunul do 2. kvadrantu (záporná úsečka a kladná súradnica).

Pri prechode do tejto novej polohy sa bod otočil proti smeru hodinových ručičiek, ako je to znázornené na obrázku vyššie červenou šípkou.

Stále musíme zistiť, aká bola hodnota uhla rotácie.

Spojením pôvodnej polohy bodu P so stredom karteziánskej osi a vykonaním toho istého vzťahu k jeho novej polohe P 'máme nasledujúcu situáciu:

Upozorňujeme, že dva trojuholníky uvedené na obrázku sú zhodné, to znamená, že majú rovnaké rozmery. Týmto spôsobom sú tiež rovnaké ich uhly.

Okrem toho sú uhly α a θ komplementárne, pretože súčet vnútorných uhlov trojuholníkov sa rovná 180 ° a keďže trojuholník je pravouhlý, súčet týchto dvoch uhlov sa bude rovnať 90 °.

Preto môže byť uhol natočenia bodu označený na obrázku β iba rovný 90 °.

Alternatíva: b) 90 ° rotácia P proti smeru hodinových ručičiek, so stredom v (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Pretože a je skutočné číslo, uvažujme maticu A = . Takže²⁰¹⁷ je to to isté ako
)
B)
ç)
d)

Pozri odpoveď

Najprv sa pokúsme nájsť vzor pre mocniny, pretože vynásobiť maticu A sama 2017 krát je veľa práce.

Pamätajte, že pri násobení matíc sa každý prvok nachádza pridaním výsledkov vynásobenia prvkov v riadku jedného prvkami v stĺpci druhého.

Začnime výpočtom A²:

Výsledkom bola matica identity a keď vynásobíme ktorúkoľvek maticu maticou identity, výsledkom bude samotná matica.

Preto hodnota A³ sa bude rovnať matici A samotnej, pretože A³ = A². THE.

Tento výsledok sa bude opakovať, to znamená, že keď je exponent párny, výsledkom je matica identity a ak je nepárny, bude to samotná matica A.

Pretože rok 2017 je nepárny, výsledok sa bude rovnať matici A.

Alternatíva: b)

4) UFSM - 2011

Uvedený diagram predstavuje zjednodušený potravinový reťazec daného ekosystému. Šípky označujú druh, ktorým sa živí iný druh. Pripisujeme hodnotu 1, keď sa jeden druh živí druhým, a nulovú, keď nastane opak, máme nasledujúcu tabuľku:

Matica A = (a_ij)_4x4, spojený s tabuľkou, má tento zákon o odbornej príprave:

Pozri odpoveď

Pretože číslo riadku je označené i a číslo stĺpca označené j, pri pohľade na tabuľku si všimneme, že keď i sa rovná j, alebo i je väčšie ako j, výsledok je nula.

Pozície obsadené 1 sú tie, na ktorých je číslo stĺpca väčšie ako číslo riadku.

Alternatíva: c)

5) Unesp - 2014

Uvažujme o maticovej rovnici A + BX = X + 2C, ktorej neznáma je matica X a všetky matice sú štvorcové v poradí n. Potrebnou a dostatočnou podmienkou na to, aby táto rovnica mala jediné riešenie, je to, že:

a) B - I ≠ O, kde I je matica identity rádu n a O je nulová matica rádu n.
b) B je invertovateľný.
c) B ≠ O, kde O je nulová matica rádu n.
d) B - I je invertibilný, kde I je matica identity objednávky n.
e) A a C sú invertovateľné.

Pozri odpoveď

Aby sme vyriešili maticovú rovnicu, musíme izolovať X na jednej strane znamienka rovnosti. Aby sme to dosiahli, spočiatku odčítajme maticu A na oboch stranách.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Teraz odčítajme X, tiež na oboch stranách. V tomto prípade bude rovnica:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Pretože I je matica identity, keď vynásobíme maticu identitou, výsledkom bude samotná matica.

Takže, aby sme izolovali X, musíme teraz vynásobiť obe strany rovnakého znamienka inverznou maticou (B-I), to znamená:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Pamätajte, že keď je matica invertovateľná, súčin inverznej matice sa rovná matici identity.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Teda, rovnica bude mať riešenie, keď B - I je invertovateľná.

Alternatíva: d) B - I je invertibilný, kde I je matica identity rádu n.

6) Enem - 2012

Študent zaznamenal dvojmesačníky niektorých svojich predmetov do tabuľky. Poznamenal, že číselné položky v tabuľke tvoria maticu 4x4 a že pomocou súčinu matíc môže vypočítať ročné priemery pre tieto disciplíny. Všetky testy mali rovnakú váhu a tabuľka, ktorú dostal, je uvedená nižšie

Na získanie týchto priemerov vynásobil maticu získanú z tabuľky číslom

Pozri odpoveď

Aritmetický priemer sa vypočíta spočítaním všetkých hodnôt a vydelením počtom hodnôt.

Študent teda musí pridať známky 4 bimesterov a výsledok vydeliť 4 alebo každú známku vynásobiť 1/4 a pridať všetky výsledky.

Pomocou matíc môžeme dosiahnuť rovnaký výsledok násobením matíc.

Musíme si však uvedomiť, že vynásobiť dve matice je možné iba vtedy, keď sa počet stĺpcov v jednom rovná počtu riadkov v druhom.

Pretože matica poznámok má 4 stĺpce, musí matica, ktorú ideme vynásobiť, mať 4 riadky. Musíme teda vynásobiť stĺpcovou maticou:

Alternatíva: a

7) Fuvest - 2012

Zvážte maticu , na čom The je reálne číslo. S vedomím, že A pripúšťa inverznú A^-1 ktorého prvý stĺpec je , súčet prvkov hlavnej uhlopriečky A^-1 je to to isté ako

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Pozri odpoveď

Vynásobenie matice jej inverziou sa rovná matici identity, takže môžeme situáciu reprezentovať nasledujúcou operáciou:

Riešením násobenia druhého riadku prvej matice prvým stĺpcom druhej matice máme túto rovnicu:

(do 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2² - 4. = 0
2. (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Nahradením hodnoty a v matici máme:

Teraz, keď poznáme maticu, vypočítajme jej determinant:

Súčet hlavnej uhlopriečky bude teda rovný 5.

Alternatíva: a) 5

Ak sa chcete dozvedieť viac, prečítajte si tiež:

• Matice
• Determinanty
• Sarrusovo pravidlo
• Laplaceova veta
• Transponovaná matica