PA a PG: zhrnutie, vzorce a cvičenia

THE aritmetická postupnosť - PA je postupnosť hodnôt, ktorá má konštantný rozdiel medzi po sebe idúcimi číslami.

THE geometrický postup - PG predstavuje čísla s rovnakým kvocientom pri delení dvoch po sebe nasledujúcich výrazov.

Zatiaľ čo v aritmetickom postupe sa pojmy získavajú pripočítaním rozdielu bežného k predchodcovi, pojmy a geometrické postupnosti sa zistia vynásobením pomeru posledným číslom v poradí, čím sa získa člen nástupca.

Ďalej je uvedený súhrn dvoch typov postupností.

Aritmetická progresia (AP)

Aritmetický postup je postupnosť tvorená členmi, ktoré sa navzájom líšia konštantnou hodnotou, ktorá sa nazýva pomer vypočítaná z:

Kde,

r je dôvodom pre BP;
The₂ je druhý termín;
The₁ je prvý termín.

Preto môžeme pojmy aritmetickej postupnosti napísať nasledovne:

Upozorňujeme, že v PA vo výške č vyjadruje vzorec všeobecného výrazu (_č) sekvencie je:

The_č =₁ + (n - 1) r

Niektoré konkrétne prípady sú: 3-členný AP je reprezentovaný (x - r, x, x + r) a 5-členný AP má svoje zložky zastúpené (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Druhy PA

Podľa hodnoty pomeru sa aritmetické postupy delia na 3 typy:

1. Neustále: keď je pomer rovný nule a podmienky BP sú rovnaké.

Príklad: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), kde r = 0

2. Rastie: ak je pomer väčší ako nula a výraz z druhého je väčší ako predchádzajúci;

Príklad: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), kde r = 2

3. zostupne: keď je pomer menší ako nula a výraz z druhého je menší ako predchádzajúci.

Príklad: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), kde r = - 2

Aritmetické postupnosti možno stále klasifikovať do konečný, keď majú určitý počet pojmov, a nekonečný, teda s nekonečnými pojmami.

Súčet podmienok PA

Súčet členov aritmetickej postupnosti sa vypočíta podľa vzorca:

Kde, č je počet výrazov v poradí, The₁ je prvý termín a The_č je n-tý termín. Vzorec je užitočný na riešenie otázok, kde je uvedený prvý a posledný termín.

Ak má problém prvý výraz a dôvod BP, môžete použiť vzorec:

Tieto dva vzorce sa používajú na pridanie výrazov konečného BP.

Priemerná doba platnosti PO

Aby sme určili stredný alebo stredný člen BP s nepárnym počtom členov, vypočítame aritmetický priemer s prvým a posledným členom (a₁ a_č):

Priemerný výraz medzi tromi po sebe idúcimi číslami PA zodpovedá aritmetickému priemeru predchodcu a nástupcu.

Vyriešený príklad

Ak vezmeme do úvahy PO (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14), určíme pomer, strednú hodnotu a súčet podmienok.

1. Dôvod PA

2. strednodobom horizonte

3. súčet termínov

Naučiť sa viac o aritmetická postupnosť.

Geometrický postup (PG)

Geometrický postup sa vytvorí, keď má sekvencia multiplikačný faktor vyplývajúci z rozdelenia dvoch po sebe nasledujúcich členov, ktorý sa nazýva spoločný pomer, ktorý sa počíta z:

Kde,

čo je dôvod pre PG;
The₂ je druhý termín;
The₁ je prvý termín.

Geometrický postup č pojmy môžu byť vyjadrené nasledovne:

Byť The₁ prvý termín, všeobecný termín PG sa počíta z The₁.q^(č-1).

Typy PG

Podľa hodnoty pomeru (q) môžeme Geometrický postup klasifikovať do 4 typov:

1. Rastie: pomer je vždy kladný (q> 0) a výrazov pribúda;

Príklad: PG: (3, 9, 27, 81, ...), kde q = 3.

2. zostupne: pomer je vždy kladný (q> 0), nenulový (0) a výrazy sa znižujú;

Príklad: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), kde q = 3

3. oscilujúci: dôvod je negatívny (q

Príklad: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, ...), kde q = - 2

4. Neustále: pomer je vždy rovný 1 a výrazy majú rovnakú hodnotu.

Príklad: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), kde q = 1

Súčet podmienok PG

Súčet členov geometrickej postupnosti sa vypočíta podľa vzorca:

Byť The₁ prvý termín, čo spoločný dôvod a č počet pojmov.

Ak je pomer PG menší ako 1, potom na určenie súčtu výrazov použijeme nasledujúci vzorec.

Tieto vzorce sa používajú pre konečný PG. Ak je požadovanou sumou nekonečný PG, použije sa vzorec:

Priemerná doba trvania PG

Aby sme určili stredný alebo stredný člen PG s nepárnym počtom členov, vypočítame geometrický priemer s prvým a posledným členom (a₁ a_č):

Vyriešený príklad

Ak vezmeme do úvahy PG (1, 3, 9, 27 a 81), určite pomer, priemerný termín a súčet výrazov.

1. Dôvod PG

2. strednodobom horizonte

3. súčet termínov

Naučiť sa viac o geometrický postup.

Zhrnutie vzorcov PA a PG

aritmetická postupnosť	Geometrický postup
Dôvod
všeobecný termín
strednodobom horizonte
konečná suma
nekonečný súčet

Naučiť sa viac o číselné sekvencie.

Cvičenia z PA a PG

Otázka 1

Aký je 16. termín sekvencie, ktorá začína číslom 3 a má pomer BP rovný 4?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Pozri odpoveď

Správna alternatíva: d) 63.

Pretože pomer PA je konštantný, môžeme nájsť druhý člen v poradí tak, že pomer pridáme k prvému číslu.

The₂ =₁ + r

The₂ = 3 + 4

The₂ = 7

Preto môžeme povedať, že túto postupnosť tvoria (3, 7, 11, 15, 19, 23, ...)

16. termín možno vypočítať pomocou všeobecného vzorca.

The_č =₁ + (n - 1). r

The₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

The₁₆ = 3 + 15.4

The₁₆ = 3 + 60

The₁₆ = 63

Preto je odpoveď na otázku 63.

otázka 2

Aký je pomer šesťčlenného AP, ktorého súčet prvých troch čísel v postupnosti sa rovná 12 a posledných dvoch čísel –34?

a) 7
b) - 6
c) - 5
d) 5

Pozri odpoveď

Správna alternatíva: b) - 6.

Všeobecný vzorec pre pojmy aritmetickej postupnosti je₁, (a₁ + r), (a₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Preto môžeme súčet prvých troch výrazov napísať nasledovne:

The₁ + (₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12
3₁ + 3r = 12
3₁ = 12 - 3r
The₁ = (12 - 3r) / 3
The₁ = 4 - r

A súčet posledných dvoch volebných období je:

(The₁ + 4r) + (a₁ + 5r) = - 34
2₁ + 9r = - 34

Teraz nahradíme₁ do 4 - r.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

Preto je pomer PG - 6.

otázka 3

Ak je tretí termín všeobecného lekára 28 a štvrtý termín 56, čo je prvých 5 termínov z tejto geometrickej postupnosti?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Pozri odpoveď

Správna alternatíva: d) 7, 14, 28, 56, 112

Najprv musíme vypočítať pomer tohto PG. Použijeme na to vzorec:

The₄ =₃. čo
56 = 28. čo
56/28 = q
q = 2

Teraz vypočítame prvých 5 výrazov. Začneme s₁ pomocou vzorca všeobecného výrazu.

The_č =₁. čo^(n-1)
The₃ =₁ . čo^(3-1)
28 =₁. 2²
The₁ = 28/ 4 = 7

Zvyšné výrazy je možné vypočítať vynásobením predošlého výrazu pomerom.

The₂ =₁.q
The₂ = 7. 2
The₂ = 14

The₅ =₄. čo
The₅ = 56. 2
The₅ = 112

Prvých 5 výrazov PG je preto:

1. volebné obdobie: 7
2. termín: 14
3. termín: 28
4. volebné obdobie: 56
5. volebné obdobie: 112

Precvičujte aj ďalšie cviky:

• Cvičenia z aritmetického postupu
• Cvičenie na geometrický postup