Nerovnosť 1. a 2. stupňa: ako riešiť a cvičiť

Nerovnica je matematická veta, ktorá má najmenej jednu neznámu hodnotu (neznámu) a predstavuje nerovnosť.

V nerovnostiach používame symboly:

• > väčšie ako
• ≥ väčšie alebo rovné
• ≤ menšie alebo rovnaké

Príklady

a) 3x - 5> 62
b) 10 + 2x ≤ 20

Nerovnosť prvého stupňa

Nerovnosť je 1. stupňa, keď sa najväčší exponent neznáma rovná 1. Môžu mať nasledujúce formy:

• sekera + b> 0
• sekera + b
• sekera + b ≥ 0
• ax + b ≤ 0

Byť The a B reálne čísla a The ≠ 0

Riešenie nerovnosti prvého stupňa.

Na vyriešenie takejto nerovnosti to môžeme urobiť rovnako ako v rovniciach.

Musíme však byť opatrní, keď sa neznáme stane negatívnym.

V takom prípade musíme vynásobiť (-1) a invertovať symbol nerovnosti.

Príklady

a) Vyriešte nerovnosť 3x + 19

Aby sme vyriešili nerovnosť, musíme izolovať x a prejsť 19 a 3 na druhú stranu nerovnosti.

Pamätajte, že pri zmene strán musíme zmeniť činnosť. Teda 19, ktoré pridávalo, prejde klesajúcim a 3, ktoré sa množili, prejdú delením.

3xxx

b) Ako vyriešiť nerovnosť 15 - 7x ≥ 2x - 30?

Keď sú na oboch stranách nerovnosti algebraické členy (x), musíme ich spojiť na tej istej strane.

Týmto spôsobom sa zmení počet znakov, ktoré menia strany.

15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2x ≥ - 30 -15
- 9x ≥ - 45

Teraz vynásobme celú nerovnosť číslom (-1). Za týmto účelom meníme znamienko všetkých výrazov:

9x ≤ 45 (všimnite si, že invertujeme symbol ≥ na ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5

Riešením tejto nerovnosti preto je x ≤ 5.

Rozlíšenie pomocou grafu nerovnosti

Ďalším spôsobom riešenia nerovnosti je vytvorenie grafu v karteziánskej rovine.

V grafe zisťujeme, ktoré hodnoty sú, znak nerovnosti X premeniť nerovnosť na pravdivú vetu.

Ak chceme nerovnosť vyriešiť pomocou tejto metódy, musíme postupovať podľa nasledujúcich krokov:

1.) Dajte všetky podmienky nerovnosti na rovnakú stranu.
2º) Znamienko nerovnosti nahraďte znakom rovnosti.
3.) Vyriešte rovnicu, teda nájdite jej koreň.
4) Preštudujte znamienko rovnice a identifikujte hodnoty X ktoré predstavujú riešenie nerovnosti.

Príklad

Vyriešte nerovnosť 3x + 19

Najskôr napíšme nerovnosť so všetkými výrazmi na jednej strane nerovnosti:

3x + 19 - 40 3x - 21

Tento výraz naznačuje, že riešením nerovnosti sú hodnoty x, ktoré robia nerovnosť negatívnou (

Nájdite koreň rovnice 3x - 21 = 0

x = 21/3
x = 7 (koreň rovnice)

Predstavte v karteziánskej rovine páry bodov nájdené pri dosadzovaní hodnôt v X v rovnici. Graf tohto typu rovnice je a rovno.

Zistili sme, že hodnoty

Nerovnosť druhého stupňa

Nerovnosť je druhého stupňa, keď sa najväčší exponent neznáma rovná 2. Môžu mať nasledujúce formy:

• sekera² + bx + c> 0
• sekera² + bx + c
• sekera² + bx + c ≥ 0
• sekera² + bx + c ≤ 0

Byť The, B a ç reálne čísla a The ≠ 0

Tento typ nerovnosti môžeme vyriešiť pomocou grafu predstavujúceho rovnicu 2. stupňa na štúdium znamienka, rovnako ako pri nerovnosti 1. stupňa.

Pamätajte, že v tomto prípade bude grafika a podobenstvo.

Príklad

Vyriešiť nerovnosť x² - 4x - 4

Na vyriešenie nerovnosti druhého stupňa je potrebné nájsť hodnoty, ktorých výraz je na ľavej strane značky

Najskôr identifikujte koeficienty:

a = 1
b = - 1
c = - 6

Používame Bhaskara vzorec (Δ = b² - 4ac) a dosadíme hodnoty koeficientov:

Δ = (- 1)² - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

Pokračovaním Bhaskarovho vzorca sme opäť nahradili hodnotami našich koeficientov:

x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2

X₁ = (1 + 5)/ 2
X₁ = 6 / 2
X₁ = 3

X₂ = (1 - 5) / 2
X₁ = - 4 / 2
X₁ = - 2

Korene rovnice sú -2 a 3. ako Therovnice 2. stupňa je kladná, jej graf bude mať konkávnosť smerom nahor.

Z grafu sledujeme, že hodnoty, ktoré vyhovujú nerovnosti, sú: - 2

Riešenie môžeme označiť pomocou nasledujúceho zápisu:

Prečítajte si tiež:

• Rovnica prvého stupňa
• Rovnica druhého stupňa
• Rovnicové systémy

Cvičenia

1. (FUVEST 2008) Na základe lekárskych odporúčaní musí človek krátkodobo dodržiavať diétu, ktorá zaručuje denné minimum 7 miligramov vitamínu A a 60 mikrogramov vitamínu D, kŕmených výlučne špeciálnym jogurtom a zmesou obilnín, umiestnených v balíkov.

Každý liter jogurtu poskytuje 1 miligram vitamínu A a 20 mikrogramov vitamínu D. Každé balenie cereálií poskytuje 3 miligramy vitamínu A a 15 mikrogramov vitamínu D.

Ak budete denne konzumovať x litrov jogurtu a y balíčkov obilnín, budete si istí, že budete dodržiavať diétu, ak:

a) x + 3y ≥ 7 a 20x + 15y ≥ 60
b) x + 3y ≤ 7 a 20x + 15y ≤ 60
c) x + 20y ≥ 7 a 3x + 15y ≥ 60
d) x + 20y ≤ 7 a 3x + 15y ≤ 60
e) x + 15r ≥ 7 a 3x + 20r ≥ 60

Pozri odpoveď

Alternatíva k: x + 3y ≥ 7 a 20x + 15y ≥ 60

2. (UFC 2002) Mestu obsluhujú dve telefónne spoločnosti. Spoločnosť X účtuje mesačné predplatné vo výške 35,00 R $ plus 0,50 R $ za použitú minútu. Spoločnosť Y si mesačne účtuje predplatné vo výške 26,00 R plus 0,50 R na minútu za minútu. Po koľkých minútach používania bude plán spoločnosti X pre zákazníkov výhodnejší ako plán spoločnosti Y?

Pozri odpoveď

26 + 0,65 m> 35 + 0,5 m
0,65 m - 0,5 m> 35 - 26
0,15 m> 9
m> 9 / 0,15
m> 60

Od 60 minút je program spoločnosti X výhodnejší.