Hranoly sú trojrozmerné postavy tvorené dve zhodné a paralelné základne, základy sú zase tvorené konvexné polygóny. Ostatné tváre, ktoré sú pomenované bočné, sú tvorené rovnobežníky. Na určenie oblasti hranola je potrebné vykonať jeho plánovanie a potom vypočítajte plochu plochého útvaru.
Prečítajte si tiež: Rozdiely medzi plochými a priestorovými údajmi
Plánovanie hranola
Myšlienkou plánovania je transformácia trojrozmernej postavy do a dvojrozmerná postava. V praxi by to bolo ekvivalentom prerezania cez hranoly hranola. Nižšie uvádzame príklad plánovania trojuholníkového hranola.
Rovnaký postup je možné prijať pre každý hranolUpozorňujeme však, že s nárastom počtu strán základných polygónov je úloha čoraz ťažšia. Z tohto dôvodu urobíme zovšeobecnenie založené na jeho plánovaní mnohouholník.
Výpočet bočnej plochy
Pri pozorovaní obrazu trojuholníkového hranola máme, že paralelogramy ABFC, ABFD a ACDE sú bočné tváre. Všimnite si, že bočné plochy hranola budú vždy rovnobežníky bez ohľadu na počet strán základných polygónov sa to stáva, pretože sú rovnobežné a zhodné.
Pri pohľade na trojuholníkový hranolový útvar tiež vidíme, že máme tri bočné plochy. Je to z dôvodu počtu strán základného mnohouholníka, to znamená, že ak sú hranoly základne štvoruholník, budeme mať štyri bočné plochy, ak sú základne päťuholník, budeme mať päť bočných plôch atď. Takto: počet strán základného polygónu ovplyvňuje počet bočných plôch hranola.
Preto bočná plocha (AĽ) ľubovoľného hranola je daná plochou bočnej tváre vynásobenou počtom bočných tvárí, to znamená, že je to plocha rovnobežníka vynásobená počtom strán tváre.
THEĽ = (základňa · výška) · počet strán tváre
Príklad
Vypočítajte bočnú plochu pravidelného šesťuholníkového hranola so základnou hranou rovnou 3 cm a výškou rovnou 11 cm.
Predmetný hranol predstavuje:
Bočná plocha sa potom vypočíta ako plocha obdĺžnika krát počet strán základného mnohouholníka, čo je 6, takže:
THEĽ = (základňa · výška) · počet strán tváre
THEĽ = (3 · 11) · 6
THEĽ = 198 cm2
Výpočet základnej plochy
THE základná plocha (THEB) hranola závisí od mnohouholníka, ktorý ho skladá. Pretože v hranole máme dve rovnobežné a kongruentné plochy, základná plocha je daná súčtom plôch rovnobežných mnohouholníkov, to znamená dvojnásobok plochy mnohouholníka.
THEB = 2 · mnohouholníková plocha
Prečítajte si tiež:Plochy plochých postáv
Príklad
Vypočítajte základnú plochu pravidelného šesťuholníkového hranola so základnou hranou 3 cm a výškou 11 cm.
Základom tohto hranola je pravidelný šesťuholník, ktorý pri pohľade zhora vyzerá takto:
Všimnite si, že trojuholníky vytvorené vo vnútri šesťuholníka sú rovnostranné, takže plocha šesťuholníka je daná šesťnásobkom oblasť rovnostranného trojuholníka.
Všimnite si však, že v hranole máme dva šesťuholníky, takže základná plocha je dvojnásobkom plochy mnohouholníka.
Výpočet celkovej plochy
THE celková plocha (AT) hranola je daná súčtom bočnej plochy (THEĽ) so základnou plochou (THEB).
THET = AĽ + AB
Príklad
Vypočítajte celkovú plochu pravidelného šesťuholníkového hranola so základnou hranou 3 cm a výškou 11 cm.
Z predchádzajúcich príkladov máme to AĽ = 198 cm2 aB = 27√3 cm2. Celková plocha je teda daná:
Cvičenia vyriešené
Otázka 1 - Búda má tvar hranola, ktorý je založený na trapéze, ako je to znázornené na obrázku.
Chcete maľovať túto búdu a je známe, že cena farby je 20 realov za meter štvorcový. Koľko bude stáť maľovanie tejto búdy? (Dané: √2 = 1,4)
Riešenie
Spočiatku určme oblasť haly. Jeho základňou je hrazda, takže:
Preto je základná plocha:
THEB = 2 · Atrapéz
THEB = 2 ·10
THEB = 20 m2
Bočná oblasť v červenej farbe je obdĺžnik a my máme spodnú časť, takže táto oblasť je:
THEV. = 2 · 4· 14
THEV.= 112 m2
Plocha v modrej farbe je tiež obdĺžnik, ale nemáme jej základňu. Pomocou Pytagorova veta v trojuholníku tvorenom lichobežníkom máme:
X2 = 22 + 22
X2 = 8
x = 2√2
Takže plocha obdĺžnika v modrej farbe je:
THETHE = 2 ·14·2√2
THETHE = 54√2 m2
Preto sa bočná plocha hranola rovná:
THEĽ = 112 + 54√2
THEĽ = 112 + 75,6
THEĽ = 187,6 m2
Celková plocha tohto hranola je teda:
THET= 20 + 187,6
THET= 207,6 m2
Pretože cena farby je 20 realov za meter štvorcový, suma vynaložená na maľovanie kôlne je:
20,207,6 = 4 152 reais
Odpoveď: Suma vynaložená na maľovanie kôlne je 4 152,00 R $
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-area-um-prisma.htm
