Oblasť hranolu: spôsob výpočtu, príklady, cvičenia

Hranoly sú trojrozmerné postavy tvorené dve zhodné a paralelné základne, základy sú zase tvorené konvexné polygóny. Ostatné tváre, ktoré sú pomenované bočné, sú tvorené rovnobežníky. Na určenie oblasti hranola je potrebné vykonať jeho plánovanie a potom vypočítajte plochu plochého útvaru.

Prečítajte si tiež: Rozdiely medzi plochými a priestorovými údajmi

Plánovanie hranola

Myšlienkou plánovania je transformácia trojrozmernej postavy do a dvojrozmerná postava. V praxi by to bolo ekvivalentom prerezania cez hranoly hranola. Nižšie uvádzame príklad plánovania trojuholníkového hranola.

Rovnaký postup je možné prijať pre každý hranolUpozorňujeme však, že s nárastom počtu strán základných polygónov je úloha čoraz ťažšia. Z tohto dôvodu urobíme zovšeobecnenie založené na jeho plánovaní mnohouholník.

Výpočet bočnej plochy

Pri pozorovaní obrazu trojuholníkového hranola máme, že paralelogramy ABFC, ABFD a ACDE sú bočné tváre. Všimnite si, že bočné plochy hranola budú vždy rovnobežníky bez ohľadu na počet strán základných polygónov sa to stáva, pretože sú rovnobežné a zhodné.

Pri pohľade na trojuholníkový hranolový útvar tiež vidíme, že máme tri bočné plochy. Je to z dôvodu počtu strán základného mnohouholníka, to znamená, že ak sú hranoly základne štvoruholník, budeme mať štyri bočné plochy, ak sú základne päťuholník, budeme mať päť bočných plôch atď. Takto: počet strán základného polygónu ovplyvňuje počet bočných plôch hranola.

Preto bočná plocha (A_Ľ) ľubovoľného hranola je daná plochou bočnej tváre vynásobenou počtom bočných tvárí, to znamená, že je to plocha rovnobežníka vynásobená počtom strán tváre.

THE_Ľ = (základňa · výška) · počet strán tváre

• Príklad

Vypočítajte bočnú plochu pravidelného šesťuholníkového hranola so základnou hranou rovnou 3 cm a výškou rovnou 11 cm.

Predmetný hranol predstavuje:

Bočná plocha sa potom vypočíta ako plocha obdĺžnika krát počet strán základného mnohouholníka, čo je 6, takže:

THE_Ľ = (základňa · výška) · počet strán tváre

THE_Ľ = (3 · 11) · 6

THE_Ľ = 198 cm²

Výpočet základnej plochy

Hranoly môžu mať rôzne tvary.

THE základná plocha (THE_B) hranola závisí od mnohouholníka, ktorý ho skladá. Pretože v hranole máme dve rovnobežné a kongruentné plochy, základná plocha je daná súčtom plôch rovnobežných mnohouholníkov, to znamená dvojnásobok plochy mnohouholníka.

THE_B = 2 · mnohouholníková plocha

Prečítajte si tiež:Plochy plochých postáv

• Príklad

Vypočítajte základnú plochu pravidelného šesťuholníkového hranola so základnou hranou 3 cm a výškou 11 cm.

Základom tohto hranola je pravidelný šesťuholník, ktorý pri pohľade zhora vyzerá takto:

Všimnite si, že trojuholníky vytvorené vo vnútri šesťuholníka sú rovnostranné, takže plocha šesťuholníka je daná šesťnásobkom oblasť rovnostranného trojuholníka.

Všimnite si však, že v hranole máme dva šesťuholníky, takže základná plocha je dvojnásobkom plochy mnohouholníka.

Výpočet celkovej plochy

THE celková plocha (A_T) hranola je daná súčtom bočnej plochy (THE_Ľ) so základnou plochou (THE_B).

THE_T = A_Ľ + A_B

• Príklad

Vypočítajte celkovú plochu pravidelného šesťuholníkového hranola so základnou hranou 3 cm a výškou 11 cm.

Z predchádzajúcich príkladov máme to A_Ľ = 198 cm² a_B = 27√3 cm². Celková plocha je teda daná:

Cvičenia vyriešené

Otázka 1 - Búda má tvar hranola, ktorý je založený na trapéze, ako je to znázornené na obrázku.

Chcete maľovať túto búdu a je známe, že cena farby je 20 realov za meter štvorcový. Koľko bude stáť maľovanie tejto búdy? (Dané: √2 = 1,4)

Riešenie

Spočiatku určme oblasť haly. Jeho základňou je hrazda, takže:

Preto je základná plocha:

THE_B = 2 · A_trapéz

THE_B = 2 ·10

THE_B = 20 m²

Bočná oblasť v červenej farbe je obdĺžnik a my máme spodnú časť, takže táto oblasť je:

THE_V. = 2 · 4· 14

THE_V.= 112 m²

Plocha v modrej farbe je tiež obdĺžnik, ale nemáme jej základňu. Pomocou Pytagorova veta v trojuholníku tvorenom lichobežníkom máme:

X² = 2² + 2²

X² = 8

x = 2√2

Takže plocha obdĺžnika v modrej farbe je:

THE_THE = 2 ·14·2√2

THE_THE = 54√2 m²

Preto sa bočná plocha hranola rovná:

THE_Ľ = 112 + 54√2

THE_Ľ = 112 + 75,6

THE_Ľ = 187,6 m²

Celková plocha tohto hranola je teda:

THE_T= 20 + 187,6

THE_T= 207,6 m²

Pretože cena farby je 20 realov za meter štvorcový, suma vynaložená na maľovanie kôlne je:

20,207,6 = 4 152 reais

Odpoveď: Suma vynaložená na maľovanie kôlne je 4 152,00 R $

Robson Luiz
Učiteľ matematiky

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-area-um-prisma.htm