Súčet vnútorných a vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka

Vy konvexné polygóny sú tie, ktoré nemajú konkávnosť. Aby sme zistili, či je mnohouholník konvexný, alebo nie, musíme pozorovať, či nejaký priamy segment s koncami na obrázku neprechádza cez vonkajšiu oblasť.

V konvexných polygónoch existujú vzorce, ktoré umožňujú určiť súčet vnútorných a vonkajších uhlov. Odhlásiť sa!

Súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka

Vzorec súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka s n stranami je:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Ukážka:

Ak sa pozrieme, uvidíme, že každý konvexný mnohouholník možno rozdeliť na určitý počet trojuholníkov. Zopár príkladov:

Pamätajúc si teda, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je vždy rovné 180 °, vidíme, že súčet vnútorných uhlov na týchto obrázkoch bude daný počtom trojuholníkov, ktoré je možné rozdeliť na krát 180 °:

štvoruholník: 2 trojuholníky ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
Päťuholník: 3 trojuholníky ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
Šesťhran: 4 trojuholníky ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

Aby sme teda dostali vzorec na výpočet súčtu vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka, musíme všeobecne vedieť, na koľko trojuholníkov možno konvexný polygón rozdeliť.

instagram story viewer

Ak pozorujeme, existuje vzťah medzi touto veličinou a počtom strán figúrok. Počet trojuholníkov sa rovná počtu strán obrázka mínus 2, to znamená:

$\ dpi {120} \ mathrm {Celkom \, z \, tri \ hat {a} uhly = n - 2}$

Štvoruholník: 4 strany ⇒ n - 2 = 4 - 2 = 2
Päťuholník: 5 strán ⇒ n - 2 = 5 - 2 = 3
Šesťhran: 6 strán ⇒ n - 2 = 6 - 2 = 4

Všeobecne je teda súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka daný vzťahom: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Čo je vzorec, ktorý sme chceli demonštrovať.

Príklad:

Nájdite súčet vnútorných uhlov konvexného ikozagónu.

Ikozagón je 20-stranný mnohouholník, to znamená n = 20. Nahraďme túto hodnotu vo vzorci:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

Súčet vnútorných uhlov konvexného ikogónu sa preto rovná 3240 °.

Súčet vonkajších uhlov mnohouholníka

THE súčet vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka sa vždy rovná 360 °, to znamená:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

Ukážka:

Vyskúšajte niekoľko bezplatných kurzov

Bezplatný kurz inkluzívneho vzdelávania online
Online knižnica hračiek a vzdelávací kurz
Bezplatný online kurz matematických hier vo vzdelávaní v ranom detstve
Bezplatný kurz Pedagogické kultúrne workshopy online

Na príkladoch si ukážeme, že súčet vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka nezávisí od počtu strán útvaru a je vždy rovný 360 °.

Štvoruholník:

štvoruholník Upozorňujeme, že každý vnútorný uhol vytvára s vonkajším uhlom uhol 180 °. Pretože sú teda štyri vrcholy, súčet všetkých uhlov je daný 4. 180° = 720°.

Teda: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

Čoskoro:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

Raz $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ , potom:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

Pentagón:

V päťuholníku máme 5 vrcholov, takže súčet všetkých uhlov je daný 5. 180° = 900°. Čoskoro: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . Potom: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . Raz $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ , potom: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Šesťhran:

V šesťuholníku máme 6 vrcholov, takže súčet všetkých uhlov je daný 6. 180° = 1080°. Čoskoro: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . Potom: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . Raz $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ , potom: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ Circ} - 720 ^ {\ Circ} = 360 ^ {\ Circ}}$ .

Ako vidíte, vo všetkých troch príkladoch súčet vonkajších uhlov, $\ dpi {120} \ mathrm {S_e}$ , vyústil do 360 °.

Príklad:

Súčet vnútorného a vonkajšieho uhla mnohouholníka sa rovná 1 800 °. Čo je to polygón?

Máme: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . Ved to v akomkoľvek mnohouholníku $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ , potom máme: