Uhol medzi dvoma vektormi

Z matematiky alebo fyziky vektory oni sú rovné segmenty so smerom, smerom a dĺžkou, ktoré sa používajú na vyjadrenie veličín ako sila, rýchlosť a zrýchlenie.

Vektory označujú trajektórie a je možné ich definovať pomocou súradnicového systému (x, y). Ak považujeme bod (0,0) za začiatok segmentu, je na nasledujúcom obrázku znázornený vektor. $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}}$ ktorého koniec je pointou $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ (x_1, y_1 \)}$ .

Notácia: $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ .

vysvätený $\ dpi {120} \ boldsymbol {x_1}$ sa nazýva vodorovná zložka a úsečka $\ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}$ , zvislej zložky.

Teraz zvážte, okrem vektora $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ , ďalší vektor $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ a uhol medzi nimi vytvorený, ako je znázornené na obrázku nižšie.

Tento uhol medzi vektormi možno vypočítať vzorcom, ktorý zahŕňa bodový súčin medzi vektormi a normou (dĺžkou) každého vektora.

Uhol medzi dvoma vektormi

Dve vektorové kocky $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ a $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ , kosínus uhla $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta}$ medzi nimi súvisí s vnútorným produktom medzi vektormi a ich štandardmi nasledovne:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {\ left \ langle \ vec {u}, \ vec {v} \ right \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |. \ | \ vec {v} \ | }}$

Čitateľ zlomku je vnútorný súčin medzi vektormi, daný:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}, \ vec {v} \, \ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}$

A menovateľ je súčin medzi štandardmi každého z vektorov, a to nasledovne:

Vyskúšajte niekoľko bezplatných kurzov

Bezplatný kurz inkluzívneho vzdelávania online

instagram story viewer

Online knižnica hračiek a vzdelávací kurz
Bezplatný online kurz matematických hier vo vzdelávaní v ranom detstve
Bezplatný kurz Pedagogické kultúrne workshopy online

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}$

Vykonaním výmeny sme overili, že vzorec uhla medzi dvoma vektormi é:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 )) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}}$

Príklad:

Vypočítajte uhol medzi vektormi $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (2,4 \)}$ a $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (5,3 \)}$ .

Ak použijeme hodnoty vo vzorci, musíme:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2) ^ 2 + (4) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 ) ^ 2 + (3) ^ 2}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {- 1} \ doľava (\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ vpravo)}$

Pomocou kalkulačky alebo a trigonometrická tabuľka, môžeme vidieť, že:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32,47 ^ {\ circ}}$

Tiež by vás mohlo zaujímať:

Luky s viac ako jedným otočením
Oblúky a kruhový pohyb
trigonometrický kruh
rýchlosť vozidla

Heslo bolo zaslané na váš e-mail.

Uhol medzi dvoma vektormi

Uhol medzi dvoma vektormi

18 Matematických hádaniek s odpoveďami

Uspávanky z brazílskeho folklóru

História a vývoj počítačov