Uhol medzi dvoma vektormi


Z matematiky alebo fyziky vektory oni sú rovné segmenty so smerom, smerom a dĺžkou, ktoré sa používajú na vyjadrenie veličín ako sila, rýchlosť a zrýchlenie.

Vektory označujú trajektórie a je možné ich definovať pomocou súradnicového systému (x, y). Ak považujeme bod (0,0) za začiatok segmentu, je na nasledujúcom obrázku znázornený vektor. \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}} ktorého koniec je pointou \ dpi {120} \ boldsymbol {\ (x_1, y_1 \)}.

Vektor

Notácia: \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}.

vysvätený \ dpi {120} \ boldsymbol {x_1} sa nazýva vodorovná zložka a úsečka \ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}, zvislej zložky.

Teraz zvážte, okrem vektora \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}, ďalší vektor \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)} a uhol medzi nimi vytvorený, ako je znázornené na obrázku nižšie.

uhol medzi vektormi

Tento uhol medzi vektormi možno vypočítať vzorcom, ktorý zahŕňa bodový súčin medzi vektormi a normou (dĺžkou) každého vektora.

Uhol medzi dvoma vektormi

Dve vektorové kocky \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)} a \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}, kosínus uhla \ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta} medzi nimi súvisí s vnútorným produktom medzi vektormi a ich štandardmi nasledovne:

\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {\ left \ langle \ vec {u}, \ vec {v} \ right \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |. \ | \ vec {v} \ | }}

Čitateľ zlomku je vnútorný súčin medzi vektormi, daný:

\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}, \ vec {v} \, \ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}

A menovateľ je súčin medzi štandardmi každého z vektorov, a to nasledovne:

Vyskúšajte niekoľko bezplatných kurzov
  • Bezplatný kurz inkluzívneho vzdelávania online
  • Online knižnica hračiek a vzdelávací kurz
  • Bezplatný online kurz matematických hier vo vzdelávaní v ranom detstve
  • Bezplatný kurz Pedagogické kultúrne workshopy online
\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2}}
\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}

Vykonaním výmeny sme overili, že vzorec uhla medzi dvoma vektormi é:

\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 )) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}}

Príklad:

Vypočítajte uhol medzi vektormi \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (2,4 \)} a \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (5,3 \)}.

Ak použijeme hodnoty vo vzorci, musíme:

\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2) ^ 2 + (4) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 ) ^ 2 + (3) ^ 2}}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {- 1} \ doľava (\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ vpravo)}

Pomocou kalkulačky alebo a trigonometrická tabuľka, môžeme vidieť, že:

\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32,47 ^ {\ circ}}

Tiež by vás mohlo zaujímať:

  • Luky s viac ako jedným otočením
  • Oblúky a kruhový pohyb
  • trigonometrický kruh
  • rýchlosť vozidla

Heslo bolo zaslané na váš e-mail.

Klimatické pásma Brazílie

Klimatické pásma Brazílie

Podnebie polohy zodpovedá súboru zmien počasia v jednotlivých regiónoch a priamo ovplyvňuje druh ...

read more
Geografia v São Paule

Geografia v São Paule

Štát São Paulo so sídlom na Juhovýchodný región, je najľudnatejší a ekonomicky najproduktívnejší ...

read more

Najväčšie náboženstvá na svete

Náboženstvo možno definovať ako kultúrny systém rozhodného správania a postupov, ako aj názorov. ...

read more