Trigonometrické funkcie pol oblúka

O trigonometrické funkcie, sínus, kosínus a tangens, polovice oblúka možno získať z trigonometrických funkcií dvojitého oblúka.

Vzhľadom na oblúk miery $\ dpi {120} \ alfa$ , dvojitý luk je luk $\ dpi {120} 2 \ alfa$ a polovičný luk je luk $\ dpi {120} \ alfa / 2$ .

Autor: dva vzorce na pridanie oblúka, máme trigonometrické funkcie dvojitého oblúka:

Sínus:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

kosínus:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alpha} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tečna:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - opálenie ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alfa }}}$

Z týchto vzorcov si ukážeme vzorce pre trigonometrické funkcie s polovičným oblúkom.

Trigonometrické funkcie pol oblúka

Jeden z základné vzťahy trigonometrie je to:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Odkiaľ pochádzame:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

výmena $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ vo vzorci kosínu dvojitého oblúka musíme:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Vyskúšajte niekoľko bezplatných kurzov

Bezplatný kurz inkluzívneho vzdelávania online
Online knižnica hračiek a vzdelávací kurz
Bezplatný online kurz matematických hier vo vzdelávaní v ranom detstve
Bezplatný kurz Pedagogické kultúrne workshopy online

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Preto: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

výmena $\ dpi {120} \ alfa$ za $\ dpi {120} \ alfa / 2$ vo vzorci vyššie a extrahovaním druhej odmocniny na oboch stranách máme vzorec pre kosínus polovice oblúka:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Poznámka: Znamienko vo vzorci bude podľa kvadrantu polovice oblúka kladné alebo záporné.

Teraz sa vymieňa $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ vo vzorci kosínu dvojitého oblúka musíme:

instagram story viewer

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Preto:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

výmena $\ dpi {120} \ alfa$ za $\ dpi {120} \ alfa / 2$ vo vzorci vyššie a extrahovaním druhej odmocniny na oboch stranách máme vzorec pre sínusový oblúk:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Poznámka: Znamienko vo vzorci bude podľa kvadrantu polovice oblúka kladné alebo záporné.

Nakoniec môžeme získať dotyčnicu polovice oblúka, ktorá vydelí sínus polovice oblúka kosínusom polovice oblúka:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ alpha}}}$

Preto vzorec dotyčnica pol oblúka é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Poznámka: Znamienko vo vzorci bude podľa kvadrantu polovice oblúka kladné alebo záporné.

Tiež by vás mohlo zaujímať:

trigonometrický kruh
trigonometrická tabuľka
Trigonometrické pomery
hriechový zákon
kosínový zákon

Heslo bolo zaslané na váš e-mail.

Trigonometrické funkcie pol oblúka

Trigonometrické funkcie pol oblúka

Cvičenia o Byzantskej ríši

Problémy s brazílskou históriou

D'Alembertova veta