Disperzné opatrenia: rozptyl a štandardná odchýlka

V štúdii o Štatistický, máme niekoľko stratégií na kontrolu, či sú hodnoty prezentované v množine údajov rozptýlené alebo nie a ako ďaleko od seba môžu byť. Nástroje, ktoré to umožňujú, sú klasifikované ako disperzné opatrenia a volal rozptyl a smerodajná odchýlka. Pozrime sa, čo každý z nich predstavuje:

Odchýlka:

• Vzhľadom na množinu údajov je rozptyl mierou disperzie, ktorá ukazuje, ako ďaleko je každá hodnota v tejto množine od centrálnej (priemernej) hodnoty.

• Čím je odchýlka menšia, tým sú hodnoty bližšie k priemeru; ale čím je väčší, tým sú hodnoty od strednej hodnoty ďalej.

• Zvážte to X₁, X₂, …, X_čoni sú č prvky a vzorka je to tak X a aritmetický priemer týchto prvkov. Výpočet variácia vzorky Je to dané:

  Var. vzorka = (X₁ – X) ² + (x₂ – X) ² + (x₃ – X)² +... + (x_č – X)²
  ​n - 1

• Ak naopak chceme vypočítať populačný rozptyl, zvážime všetky prvky populácie, nielen vzorku. V tomto prípade má výpočet malý rozdiel. Pozerať:

  Var. populácia = (X₁ – X) ² + (x₂ – X) ² + (x₃ – X)² +... + (x_č – X)²
  č

Štandardná odchýlka:

• Štandardná odchýlka je schopná identifikovať „chybu“ v sade údajov, ak by sme chceli nahradiť jednu zo zhromaždených hodnôt aritmetickým priemerom.

• Štandardná odchýlka sa objaví vedľa aritmetického priemeru a informuje o tom, ako „spoľahlivá“ je táto hodnota. Uvádza sa takto:

  aritmetický priemer (X) ± smerodajná odchýlka (sd)

• Výpočet štandardnej odchýlky sa robí z kladnej druhej odmocniny rozptylu. Preto:

  dp = √var

Teraz použijeme výpočet rozptylu a štandardnej odchýlky v príklade:

Na jednej škole sa rada rozhodla preskúmať počet študentov, ktorí majú nadštandardne všetky ročníky zo všetkých predmetov. Aby to lepšie analyzovala, rozhodla sa režisérka Ana zostaviť tabuľku s počtom „modrých“ známok na vzorke štyroch tried za rok. Tabuľka usporiadaná príkazcom:

Pred výpočtom odchýlky je potrebné skontrolovať aritmetický priemer(X) počet nadpriemerných študentov v každej triede:

6. roč → X = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7. ročník → X = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8. rok → X = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9. roč → X = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Na výpočet odchýlky počtu študentov nad priemerom v každej triede použijeme a vzorka, preto používame vzorec variácia vzorky:

Var. vzorka = (X₁ – X) ² + (x₂ – X) ² + (x₃ – X)² +... + (x_č – X)²
n - 1

6. roč → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

7. ročník → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8,00

8. rok → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

9. roč → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

Keď je známa odchýlka každej triedy, vypočítajme teraz smerodajnú odchýlku:

6. roč dp = √var dp = √ 4,33 ​dp ≈ 2,08

7. ročník dp = √var dp = √ 8,00 ​dp ≈ 2,83

8. rok dp = √var dp = √ 6,91 ​dp ≈ 2,63

9. roč dp = √var dp = √ 13,66 ​dp ≈ 3,70

Na záver svojej analýzy môže riaditeľka predstaviť nasledujúce hodnoty, ktoré označujú priemerný počet študentov nad priemerom v skúmanej triede:

6. roč: 7,50 ± 2,08 študentov nad priemerom za semester;
7. ročník: 8,00 ± 2,83 študentov nad priemerom za dva mesiace;
8. rok: 8,75 ± 2,63 študentov nad priemerom za dva mesiace;
9. roč: 8,50 ± 3,70 študentov nad priemerom za dva mesiace;

Ďalším stupňom disperzie je koeficient variácie. Pozri tu ako to vypočítať!

Autor: Amanda Gonçalves
Vyštudoval matematiku

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm