Čo sú to komplexné čísla?

Do polovice 16. storočia platili rovnice ako x² - 6x + 10 = 0 sa považovalo za „žiadne riešenie“. Bolo to preto, že podľa Bhaskarovho vzorca bol pri riešení tejto rovnice nájdený výsledok:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

Problém sa našiel v √– 4, ktoré nemá riešenie v rámci množiny reálnych čísel, to znamená č existuje reálne číslo, ktoré vynásobí samo seba výťažok √– 4, pretože 2 · 2 = 4 a (–2) (- 2) = 4.

V roku 1572 bol Rafael Bombelli zaneprázdnený riešením rovnice x³ - 15x - 4 = 0 podľa Cardanovho vzorca. Prostredníctvom tohto vzorca sa dospelo k záveru, že táto rovnica nemá skutočné korene, pretože je nakoniec potrebné ju vypočítať √– 121. Po niekoľkých pokusoch je však možné zistiť, že 4³ - 15 · 4 - 4 = 0, a preto x = 4 je koreňom tejto rovnice.

Ak vezmeme do úvahy existenciu skutočných koreňov, ktoré nie sú vyjadrené Cardanovým vzorcom, Bombelli dostal nápad predpokladať že √– 121 by malo za následok √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 a to by mohol byť „nereálny“ koreň rovnice študoval. √– 121 by teda bola súčasťou nového typu čísla, ktoré tvorí ďalšie neopodstatnené korene tejto rovnice. Takže rovnica x

³ - 15x - 4 = 0, ktorý má tri korene, bude mať x = 4 ako skutočný koreň a ďalšie dva korene patriace k tomuto novému typu čísla.

Na konci 18. storočia pomenoval Gauss tieto čísla ako komplexné čísla. V tom čase už mali formu zložité čísla a + bi, s i = √– 1. Ďalej The a B boli už považované za body karteziánskej roviny, známej ako Argand-Gaussova rovina. Komplexné číslo Z = a + bi malo teda ako geometrické znázornenie bod P (a, b) karteziánskej roviny.

Preto výraz „komplexné čísla”Sa začalo používať v súvislosti s číselnou množinou, ktorej zástupcami sú: Z = a + bi, s i = √– 1 a s The a B patriace do množiny reálnych čísel. Toto znázornenie sa nazýva algebraická forma komplexného čísla Z.

Pretože komplexné čísla sú tvorené dvoma reálnymi číslami a jedno z nich je vynásobené √– 1, tieto skutočné čísla dostali špeciálne meno. Ak vezmeme do úvahy komplexné číslo Z = a + bi, a je „skutočná časť Z“ ab je „imaginárna časť Z“. Matematicky môžeme napísať: Re (Z) = a a Im (Z) = b.

Myšlienka modulu komplexného čísla sa kryštalizuje analogicky k predstave modulu skutočného čísla. Ak vezmeme do úvahy bod P (a, b) ako geometrické znázornenie komplexného čísla Z = a + bi, vzdialenosť medzi bodom P a bodom (0,0) je daná vzťahom:

| Z | = √(The² + b²)

Druhým spôsobom, ako reprezentovať komplexné čísla, je Polárna alebo trigonometrická forma. Táto forma vo svojej konštitúcii využíva modul komplexného čísla. Komplexné číslo Z, algebraicky Z = a + bi, možno reprezentovať polárnym tvarom pomocou:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

Je zaujímavé si všimnúť, že karteziánska rovina je definovaná dvoma ortogonálnymi líniami, známymi ako osi xay. Vieme, že reálne čísla môžu byť reprezentované čiarou, na ktorej sú umiestnené všetky racionálne čísla. Zvyšné medzery sú vyplnené iracionálnymi číslami. Zatiaľ čo skutočné čísla sú všetky na riadku známom ako Os X. z karteziánskej roviny by všetky ostatné body patriace k tejto rovine boli rozdielom medzi komplexnými číslami a reálnymi číslami. Množina reálnych čísel je teda obsiahnutá v množine komplexných čísel.

Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm