Pri štúdiu komplexných čísel narazíme na nasledujúcu rovnosť: i2 = – 1.
Odôvodnenie tejto rovnosti je zvyčajne spojené s riešením rovníc 2. stupňa so zápornými odmocninami, čo je chyba. Pôvod výrazu i2 = - 1 sa nachádza v definícii komplexných čísel, čo je ďalšia otázka, ktorá tiež vyvoláva veľa pochybností. Pochopme, aký je dôvod takejto rovnosti a ako vzniká.
Najskôr urobme niekoľko definícií.
1. Usporiadaná dvojica reálnych čísel (x, y) sa nazýva komplexné číslo.
2. Komplexné čísla (x1r1) a (x2r2) sú rovnaké práve vtedy, ak x1 = x2 a r1 = r2.
3. Sčítanie a násobenie komplexných čísel je definované:
(X1r1) + (x2r2) = (x1 + x2r1 + r2)
(X1r1)*(X2r2) = (x1*X2 - r1* r2, X1* r2 + r1*X2)
Príklad 1. Zvážte z1 = (3, 4) a z2 = (2, 5), vypočítať z1 + z2 a z1* z2.
Riešenie:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Pomocou tretej definície je ľahké preukázať, že:
(X1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(X1, 0) * (x2, 0) = (x1*X2, 0)
Tieto rovnosti ukazujú, že pokiaľ ide o operácie sčítania a násobenia, komplexné čísla (x, y) sa správajú ako reálne čísla. V tejto súvislosti môžeme vytvoriť nasledujúci vzťah: (x, 0) = x.
Pomocou tohto vzťahu a symbolu i na vyjadrenie komplexného čísla (0, 1) môžeme napísať ľubovoľné komplexné číslo (x, y) nasledovne:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → čo je bežné volanie komplexného čísla.
Komplexné číslo (3, 4) v normálnej forme sa tak stane 3 + 4i.
Príklad 2. Napíšte nasledujúce komplexné čísla v normálnom tvare.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Teraz si všimnite, že voláme i komplexné číslo (0, 1). Pozrime sa, čo sa stane pri výrobe i2.
Vieme, že i = (0, 1) a že i2 = i * i. Postupujte podľa toho:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Pomocou definície 3 budeme mať:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Ako sme videli skôr, každé komplexné číslo tvaru (x, 0) = x. Teda
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Dospeli sme k slávnej rovnosti i2 = – 1.
Autor: Marcelo Rigonatto
Špecialista na štatistiku a matematické modelovanie
Brazílsky školský tím
Komplexné čísla - Matematika - Brazílska škola
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm
