D'Alembertova veta

D'Alembertova veta je okamžitým dôsledkom zvyšnej vety, ktorá sa zaoberá delením polynómu binárnym typom x - a. Zvyšná veta hovorí, že polynóm G (x) vydelený dvojčlenom x - a bude mať zvyšok R rovný P (a), pre
x = a. Francúzsky matematik D'Alembert dokázal, berúc do úvahy vyššie citovanú vetu, že polynóm akékoľvek Q (x) bude deliteľné x - a, to znamená, že zvyšok rozdelenia bude rovný nule (R = 0), ak P (a) = 0.
Táto veta uľahčila výpočet rozdelenia polynómu na binomické (x –a), takže nie je potrebné riešiť celé rozdelenie, aby sme vedeli, či je zvyšok rovný alebo odlišný od nuly.
Príklad 1
Vypočítajte zvyšok delenia (x² + 3x - 10): (x - 3).
Ako hovorí D'Alembertova veta, zvyšok (R) tejto divízie sa bude rovnať:
P (3) = R
3² + 3 * 3 - 10 = R.
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Takže zvyšok tejto divízie bude 8.
Príklad 2
Skontrolujte, či x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 je deliteľné x - 1.
Podľa D’Alemberta je polynóm deliteľný dvojčlenom, ak P (a) = 0.
P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2

P (1) = 3 - 4
P (1) = - 1
Pretože P (1) nie je nula, polynom nebude deliteľný binomom x - 1.
Príklad 3
Vypočítajte hodnotu m tak, aby zvyšok delenia polynómu bol
P (x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 x x - 2 je 6.
Máme to, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8 m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8 m = 6 - 38 + 3
- 8 m = 9 - 38
- 8 m = - 29
m = 29/8
Príklad 4
Vypočítajte zvyšok rozdelenia 3x polynómu³ + x² - 6x + 7 x 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

od Marka Noaha
Vyštudoval matematiku
Brazílsky školský tím

Polynómy - Matematika - Brazílska škola

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm