Trojuholníková matica: typy, determinant, úlohy

Matica je trojuholníková keď sú prvky nad hlavnou uhlopriečkou alebo prvky pod hlavnou uhlopriečkou nulové. Pre tento typ matice existujú dve možné klasifikácie: prvou je, keď sú prvky nad hlavnou uhlopriečkou nulové, čím sa nastavuje dolná trojuholníková matica; druhá je, keď sú prvky pod hlavnou uhlopriečkou nulové, čím sa vytvára horná trojuholníková matica.

Ak chcete vypočítať determinant trojuholníkovej matice podľa Sarrusovho pravidla, stačí vykonať hlavné diagonálne násobenie, pretože všetky ostatné násobenia sa budú rovnať nule.

Prečítajte si tiež: Pole - čo to je a existujúce typy

Trojuholníková matica je konkrétny prípad matice.

Typy trojuholníkových matíc

Aby sme pochopili, čo je to trojuholníková matica, je dôležité si uvedomiť, aká je hlavná uhlopriečka štvorcovej matice, čo je matica, ktorá má rovnaký počet riadkov a stĺpcov. Hlavnou uhlopriečkou matice sú členy a._ij, kde i = j, to znamená, sú to výrazy, v ktorých sa číslo riadku rovná číslu stĺpca.

Príklad:

Výrazy na hlavnej uhlopriečke sú zvýraznené červenou farbou.

Po pochopení toho, čo je štvorcová matica a aká je jej hlavná uhlopriečka, poďme vedieť, čo je to trojuholníková matica a jej klasifikácie. Pre trojuholníkovú maticu existujú dve možné klasifikácie: Thedolná trojuholníková matica a horná trojuholníková matica.

• Dolná trojuholníková matica: nastane, keď sa všetky členy nad hlavnou uhlopriečkou rovnajú nule a členy pod hlavnou uhlopriečkou sú reálne čísla.

Numerický príklad:

• Horná trojuholníková matica: nastane, keď sa všetky členy pod hlavnou uhlopriečkou rovnajú nule a členy nad hlavnou uhlopriečkou sú reálne čísla.

Numerický príklad:

diagonálna matica

Diagonálna matica je a konkrétny prípad trojuholníkovej matice. V ňom sú nenulové jediné výrazy, ktoré sú obsiahnuté v hlavnej uhlopriečke. Výrazy nad alebo pod hlavnou uhlopriečkou sa rovnajú nule.

Numerické príklady diagonálnej matice:

Determinant trojuholníkovej matice

Ak vezmeme do úvahy trojuholníkovú maticu, pri výpočte determinantu tejto matice pomocou Sarrusovo pravidlo, môžete vidieť, že všetky násobenia sa rovnajú nule, okrem násobenia člena hlavnej uhlopriečky.

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃ +₁₂ · A₂₃ · 0 +₁₃ · 0 · 0 - (₁₃ ·₂₃ ·0 +₁₁ · A₂₃ · 0 +₁₂ · 0· A₃₃)

Všimnite si, že vo všetkých pojmoch okrem prvého je nula jedným z faktorov a všetkými násobenie nulou sa rovná nule, takže:

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃

Upozorňujeme, že toto je súčin medzi členmi hlavnej uhlopriečky.

Bez ohľadu na počet riadkov a stĺpcov má trojuholníková matica jej determinant bude vždy rovný súčinu podmienok hlavnej uhlopriečky.

Pozri tiež: Determinant - vlastnosť použitá na štvorcové matice

Vlastnosti trojuholníkovej matice

Trojuholníková matica má niektoré špecifické vlastnosti.

• 1. nehnuteľnosť: determinant trojuholníkovej matice sa rovná súčinu členov hlavnej uhlopriečky.
• 2. nehnuteľnosť: súčin medzi dvoma trojuholníkovými maticami je trojuholníková matica.
• 3. nehnuteľnosť: ak sa jeden z členov hlavnej uhlopriečky trojuholníkovej matice rovná nule, potom bude jeho determinant rovný nule a v dôsledku toho nebude inverzný.
• 4. nehnuteľnosť: inverzná matica trojuholníkovej matice je tiež trojuholníková matica.
• 5. vlastnosť: súčet dvoch horných trojuholníkových matíc je horná trojuholníková matica; podobne súčet dvoch dolných trojuholníkových matíc je dolná trojuholníková matica.

vyriešené cviky

1) Vzhľadom na maticu A je hodnota determinantu A:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Rozhodnutie

Alternatíva d.

Táto matica je nižšia trojuholníková, takže jej determinantom je množenie výrazov na hlavnej uhlopriečke.

det (A) = 1,3,3,3,5 = 45

2) Posúďte nasledujúce vyhlásenia.

I → Každá štvorcová matica je trojuholníková.

II → Súčet hornej trojuholníkovej matice s dolnou trojuholníkovou maticou je vždy trojuholníková matica.

III → Každá diagonálna matica identity je trojuholníková matica.

Správne poradie je:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Rozhodnutie

Alternatíva d.

I → False, pretože každá trojuholníková matica je štvorcová, ale nie každá štvorcová matica je trojuholníková.

II → False, pretože súčet medzi hornou a dolnou trojuholníkovou maticou nemusí vždy viesť k trojuholníkovej matici.

III → Pravda, pretože pojmy odlišné od uhlopriečky sa rovnajú nule.

Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm