Когда мы изучаем многогранники, мы сталкиваемся с Твердые тела Платона как частный случай. Чтобы быть телом Платона, многогранник должен удовлетворять трем условиям:
быть выпуклым;
все грани имеют одинаковое количество граней;
все вершины являются концами одинакового числа ребер.
Несколько философов стремились понять происхождение Вселенной, и Платон видел это в пространственная геометрия объяснение этого происхождения. Твердые тела Платона:
тетраэдр;
шестигранник;
октаэдр;
додекаэдр;
икосаэдр.
Все они считаются правильными многоугольниками, так как их ребра и их грани совпадают. Твердые тела Платона уважают Отношения Эйлера, который перечисляет количество вершин, граней и ребер по формуле V + F = A + 2.
Читайте тоже: В чем разница между плоскими и пространственными фигурами?
правильные многогранники
Поиск правильных многогранников повторяется, так как с ними легче работать. Многогранник считается правильным, если он все лица образованы одним и тем же многоугольник конгруэнтный. Когда это происходит, углы и ребра также совпадают.
Тела Платона являются частными случаями правильных многогранников. Куб, например, который является твердым телом Платона, имеет все грани, образованные конгруэнтными квадратами. О пяти телах Платона, три образованы треугольными гранями с совпадающими треугольниками, одна образована квадратными гранями, а другая - пятиугольными гранями.
Что такое твердые тела Платона?
Платон был греческим философом и математиком. Он внес большой вклад в математику и, пытаясь понять Вселенную, связанные твердые тела с элементами природы.
Чтобы быть платоновым телом, многогранник должен быть правильные и выпуклые. Этому определению удовлетворяют только пять твердых тел. Это тетраэдр, куб или шестигранник, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.
Связь между стихией природы и твердым телом была:
тетраэдр - Пожар
шестигранник - Земля
октаэдр - воздуха
икосаэдр - Воды
додекаэдр - Космо или Вселенная
Чтобы быть твердым Платоном, О многогранник также должен быть выпуклым, все грани должны иметь одинаковое количество ребер, а все вершины должны быть концами одного и того же числа ребер.
Смотрите также: Булыжники - геометрические тела, образованные плоскими и многоугольными гранями.
правильный тетраэдр
Правильный тетраэдр - это многогранник, имеет 4 лица, что оправдывает свое название (тетра = четыре). все твои лица образованный треугольниками. Он имеет форму пирамида с треугольным основанием и известна как пирамида с правильным основанием, так как все ее грани совпадают. Всего у него 4 лица (в формате равносторонний треугольник), 4 вершины и 6 ребер.
Если вы хотите построить свой собственный правильный тетраэдр, просто скачайте и распечатайте PDF Здесь.
Правильный куб или шестигранник
правильный шестигранник имеет 6 лица, что оправдывает свое название (hex = six). все твои лица квадратный. Он также известен как куб и имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.
Если вы хотите построить свой собственный куб, просто скачайте и распечатайте PDF Здесь.
Октаэдр
Как и предыдущие, имя связано с количеством граней, отсюда и октаэдр. имеет 8 лиц. Эти лица имеют форма равностороннего треугольника. Октаэдр имеет 8 граней, 12 ребер и 6 вершин.
Если вы хотите построить свой собственный октаэдр, просто скачайте и распечатайте PDF Здесь.
икосаэдр
Икосаэдр состоит из 20 лиц. Их грани имеют форму равносторонних треугольников, как у октаэдра. Всего у него 20 граней, 30 ребер и 12 вершин.
Если вы хотите построить свой собственный икосаэдр, просто скачайте и распечатайте PDF Здесь.
Додекаэдр
Додекаэдр - последнее из тел Платона. Всего 12 граней. и считается более гармоничный среди пяти Платоновых тел. Их лица имеют форму пятиугольника. У него 12 граней, 30 ребер и 20 вершин.
Если вы хотите построить свой собственный додекаэдр, просто скачайте и распечатайте PDF Здесь.
Также доступ: Цилиндр - геометрическое тело, образованное двумя параллельными круговыми гранями в разных плоскостях.
Формула Эйлера
Многогранники Эйлера - это выпуклые многогранники. Эйлер разработал формулу, которая связывает количество граней (F), количество вершин (V) и количество ребер (A) в выпуклом многограннике. Все тела Платона удовлетворяют соотношению Эйлера.
В + Ф = А + 2 |
Анализируя формулу, тогда можно рассчитать количество вершин из количества граней и ребер, или количество граней из количества вершин и ребер, короче, зная два его элемента, всегда можно найти третий.
Пример:
Зная, что у многогранника 8 вершин и 12 ребер, и что он правильный, сколько у него граней?
Мы знаем, что V + F = A + 2
V = 8
А = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
Ж = 14 - 8
F = 6
решенные упражнения
Вопрос 1 - (Enem 2016) Тела Платона - это выпуклые многогранники, грани которых конгруэнтны одному многоугольнику. регулярный, все вершины имеют одинаковое количество инцидентных ребер, и каждое ребро используется только двумя общими ребрами. лица. Они важны, например, при классификации форм кристаллов минералов и при разработке различных объектов. Как и все выпуклые многогранники, тела Платона подчиняются соотношению Эйлера V - A + F = 2, где V, A и F - количество вершин, ребер и граней многогранника соответственно.
В кристалле, имеющем форму многогранника Платона с треугольными гранями, какова взаимосвязь между количеством вершин и количеством граней?
А) 2В - 4Ф = 4
Б) 2В - 2Ф = 4
В) 2В - F = 4
Г) 2В + Ж = 4
E) 2V + 5F = 4
разрешение
Альтернатива C. Поскольку грани треугольные, мы знаем, что для каждой грани есть 3 ребра. Однако, чтобы связать количество ребер с количеством граней, важно помнить, что каждое ребро содержит на двух гранях, потому что встреча двух граней образует ребро, поэтому мы можем связать ребро с гранью в этом случае за:
Имея соотношение Эйлера как V - A + F = 2 и подставляя A, мы должны:
Вопрос 2 - Судите по приведенным ниже альтернативам, какой из них не является твердым телом Платона.
А) Куб
Б) Правильный тетраэдр
В) Икосаэдр
D) Додекаэдр
E) Конус
разрешение:
Альтернатива E. Из альтернатив единственной, которая не соответствует твердому телу Платона, является конус.
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm