тригонометрический круг круг радиуса 1, представленный в Декартова плоскость. В нем горизонтальная ось - это ось косинуса, а вертикальная ось - ось синуса. Его также можно назвать тригонометрическим циклом.
Он используется для исследования тригонометрических соотношений. С его помощью можно лучше понять основные тригонометрические причины углы больше 180º, а именно: синус, косинус и тангенс.
Читайте тоже: 4 самых распространенных ошибки в базовой тригонометрии
Пошагово построить тригонометрический круг
Чтобы построить тригонометрический круг, мы используем две оси, один вертикальный и один горизонтальный, как декартова плоскость. Горизонтальная ось известна как ось косинуса, а вертикальная ось известна как синусоидальная ось.
С построением осей давайте нарисуем график круга с радиусом 1.
Тригонометрические соотношения в круге
Мы используем круг, чтобы найти значение
синус, косинус и тангенс, согласно значению угла. имея в по вертикальной оси значение синуса и по горизонтальной оси значение косинуса, определяя угол на тригонометрическом круге, можно найти значение синуса и косинуса, анализируя координаты точки, где отрезок линии соединяет центр окружности и окружность, обозначенную буквой P на изображении a следить. Если мы проведем касательную к окружности в точке (1.0), мы также сможем вычислить тангенс этого угла аналитически в соответствии с изображением:
Читайте тоже: Что такое секанс, косеканс и котангенс?
Радианы тригонометрического круга
Мы знаем, что дугу можно измерить в двух разных единицах измерения: в градусах и в градусах. радианы. Мы знаем это окружность 360º и что длина вашей дуги равна 2π:
Квадранты тригонометрического круга
В радианах или градусах можно определить квадрант, в котором расположена данная дуга, в соответствии с ее размером.
Анализируя цикл, мы должны:
первый квадрант: углы от 0 до 90 ° или от 0 до π / 2 радиан;
второй квадрант: углы от 90 ° до 180 ° или π / 2 и π радиан;
третий квадрант: углы от 180 ° до 270 ° или от π до 3 π / 2 радиан;
четвертый квадрант: углы от 270 ° до 360 ° или от 3π / 2 до 2π радиан.
Читайте тоже: Характеристики и свойства плана
Замечательные углы в тригонометрическом круге
В начале изучения тригонометрия, мы узнали, что заметными углами являются углы 30º, 45º и 60º, которые имеют значение известных синуса, косинуса и тангенса. Однако из-за симметрии тригонометрического цикла можно найти значения синуса и косинуса для этих углов и симметричных углов ему в каждом из квадрантов.
Тригонометрические круговые знаки
Чтобы понять, какой знак у каждого из тригонометрических соотношений в цикле, достаточно проанализировать значения оси в декартовой плоскости.
Начнем с косинуса. Поскольку это горизонтальная ось, косинус углов, включенных справа от вертикальной оси, положительный, а косинус углов, включенных слева от вертикальной оси, отрицательный.
Теперь, чтобы понять синусоидальный знак угла, просто помните, что вертикальная ось - это синусоидальная ось, поэтому синус угла, который находится выше горизонтальной оси, положителен; но если угол ниже горизонтальной оси, синус этого угла будет отрицательным, как показано на следующем изображении:
Мы знаем это тангенс - это соотношение между синусом и косинусом, затем, чтобы найти знак касательной для каждого из квадрантов, мы играем в игру со знаками, в которой касательная становится положительной в нечетных квадрантах и отрицательной в четных:
Читайте тоже: Что такое полупрямые, полуплоские и полупространственные?
симметрия в круге
Анализируя тригонометрический цикл, можно построить способ уменьшения синуса, косинуса и касательной к первому квадранту. Это сокращение означает нахождение в первом квадранте угла, симметричного углу других квадрантов, потому что, когда мы работаем с симметричным углом, значения тригонометрических соотношений одинаковы, изменяются только его сигнал.
Уменьшение угла, находящегося во 2-м квадранте, до 1-го квадранта
Начиная с углов во 2-м квадранте, мы должны:
Как известно, в 1-м и 2-м квадрантах синус положительный. Итак, чтобы вычислить уменьшение синуса из 2-го квадранта в 1-й квадрант, воспользуемся формулой:
грех х = грех (180º - х)
Косинус и тангенс во 2-м квадранте отрицательны. Чтобы уменьшить косинус из 2-го квадранта в 1-й квадрант, мы используем формулу:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Пример:
Какое значение имеют синус и косинус угла 120 °?
Угол 120 ° - это второй угол квадранта, так как он находится между 90 ° и 180 °. Чтобы уменьшить этот угол до 1-го квадранта, рассчитываем:
sin 120 ° = sin (180 ° - 120 °)
грех 120º = грех 60º
Угол 60 ° - замечательный угол, поэтому его значение синуса известно, поэтому:
Теперь рассчитаем ваш косинус:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
Поскольку мы знаем косинус 60º, мы должны:
Уменьшение угла, находящегося в 3-м квадранте, до 1-го квадранта
Как и во 2-м квадранте, существует симметрия между углами в 3-м квадранте и углами в 1-м квадранте.
Синус и косинус в третьем квадранте отрицательны. Итак, чтобы уменьшить синус и косинус из 3-го квадранта в 1-й квадрант, мы используем формулу:
sin x = - sin (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
Касательная в 3-м квадранте положительна. Чтобы его уменьшить, воспользуемся формулой:
tg x = tg (x - 180º)
Пример:
Вычислите синус, косинус и тангенс 225º.
sin 225º = - sin (225º - 180º)
sin 225º = - грех 45º
Поскольку 45º - замечательный угол, при просмотре таблицы мы должны:
Теперь, вычисляя косинус, мы должны:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Мы знаем, что tg45º = 1, поэтому:
tg 225º = 1
Уменьшение угла, находящегося в 4-м квадранте, до 1-го квадранта
По тем же причинам, что и предыдущие сокращения, существует симметрия между 4-м и 1-м квадрантами:
Значения синуса и тангенса в 4-м квадранте отрицательны. Итак, чтобы произвести редукцию из 4-го квадранта в 1-й, воспользуемся формулой:
sin x = - sin (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
Косинус в 4-м квадранте положительный. Итак, чтобы перейти к 1-му квадранту, формула:
cos x = cos (360º - x)
Пример:
Вычислите значения синуса и косинуса 330º.
Начиная с синуса:
Теперь вычисляем косинус:
Читайте тоже: Как рассчитать расстояние между двумя точками в космосе?
Тригонометрические упражнения по кругу
Вопрос 1 - Во время исследования кругового момента физик проанализировал объект, который вращался вокруг себя, образуя угол 15 240º. Анализируя этот угол, образуемая им дуга находится в:
А) квадрант I.
Б) квадрант II.
В) квадрант III.
Г) квадрант IV.
Д) поверх одной из осей.
разрешение
Альтернатива Б.
Мы знаем, что каждые 360 ° этот объект завершает круг вокруг себя. При выполнении разделение 15 240 на 360, мы найдем, сколько полных оборотов сделал этот объект вокруг себя, но нас больше всего интересует остальное, которое представляет собой угол, под которым он остановился.
15.240: 360 = 42,333…
Результат показывает, что он сделал 42 оборота вокруг себя, но 360 · 42 = 15,120, поэтому он оставил угол:
15.240 – 15.120 = 120º
Мы знаем, что 120 ° - это второй угол квадранта.
Вопрос 2 - Оцените, пожалуйста, следующие утверждения:
I → При вычислении tg 140º значение будет отрицательным.
II → Угол 200 ° - это угол 2-го квадранта.
III → Sen 130º = sin 50º.
Отметьте правильный вариант:
А) Ложь только я.
Б) Только II неверно.
В) Только III неверно.
Г) Все верно.
разрешение
Альтернатива Б.
I → Верно, поскольку угол 140º принадлежит 2-му квадранту, в котором касательная всегда отрицательна.
II → Ложь, так как угол 200 ° - это угол 3-го квадранта.
III → Верно, потому что для уменьшения угла со 2-го квадранта на 1-й просто вычислите разницу 180 ° - x, тогда:
грех 130 ° = грех (180 ° - 130 °)
130-й грех = 50-й грех
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm