Факторинг - это процесс, используемый в математике, который состоит в представлении числа или выражения как произведения факторов.
Записывая многочлен, как умножение других многочленов, мы часто можем упростить выражение.
Ознакомьтесь с типами полиномиальной факторизации ниже:
Общий фактор в доказательствах
Мы используем этот тип факторизации, когда есть множитель, который повторяется во всех членах полинома.
Этот множитель, который может содержать цифры и буквы, будет помещен перед круглыми скобками.
В скобках будет результат деления каждого члена многочлена на общий множитель.
На практике сделаем следующие шаги:
1º) Определите, есть ли число, которое делит все коэффициенты многочлена, и буквы, которые повторяются во всех членах.
2º) Поместите общие множители (числа и буквы) перед круглыми скобками (для доказательства).
3) Поместите в круглые скобки результат деления каждого множителя многочлена на множитель, который имеется в виду. В случае букв мы используем правило разделения властей на одной основе.
Примеры
а) Каков факторизованный вид многочлена 12x + 6y - 9z?
Сначала мы идентифицируем, что число 3 делит все коэффициенты и что нет повторяющейся буквы.
Ставим перед круглыми скобками цифру 3, делим все члены на три и результат помещаем в круглые скобки:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
б) Фактор 2а2б + 3а3с - а4.
Поскольку нет числа, которое одновременно делит 2, 3 и 1, мы не будем ставить какие-либо числа перед круглыми скобками.
Письмо В повторяется во всех терминах. Общим фактором будет В2, который является наименьшим показателем В в выражении.
Разделим каждый член многочлена на В2:
2-й2 b:2 = 2-й2 - 2 b = 2b
3-й3c: the2 = 3-й3 - 2 c = 3ac
В4: а2 = the2
Ставим В2 перед круглыми скобками и результаты деления в круглых скобках:
2-й2б + 3а3с - а4 = the2 (2b + 3ac - a2)
группировка
В несуществующем полиноме множитель, повторяющийся во всех членах, можно использовать факторизацию путем группирования.
Для этого мы должны определить термины, которые можно сгруппировать по общим факторам.
В этом типе факторизации мы показываем общие факторы группировок.
Пример
Разложим многочлен mx + 3nx + my + 3ny на множители
Условия mx а также 3nx имеет в качестве общего фактора Икс. уже условия мой а также 3ny имеют в качестве общего фактора у.
Доказательство этих факторов:
х (м + 3n) + y (м + 3n)
Обратите внимание, что (m + 3n) теперь также повторяется в обоих терминах.
Снова доказывая это, мы находим факторизованную форму многочлена:
mx + 3nx + мой + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Трехчлен совершенного квадрата
Трехчлены - это многочлены с 3 членами.
Трехчлены полного квадрата a2 + 2ab + b2 и2 - 2ab + b2 результат замечательного произведения типа (a + b)2 и (а - б)2.
Таким образом, факторизация полного квадратного трехчлена будет:
В2 + 2ab + b2 = (а + б)2 (квадрат суммы двух членов)
В2 - 2ab + b2 = (а - б)2 (квадрат разницы двух членов)
Чтобы узнать, действительно ли трехчлен является совершенным квадратом, мы делаем следующее:
1º) Вычислите квадратный корень из квадратов членов.
2) Умножьте найденные значения на 2.
3-й) Сравните найденное значение с членом без квадратов. Если они равны, это идеальный квадрат.
Примеры
a) Разложите многочлен x на множители2 + 6x + 9
Во-первых, мы должны проверить, является ли многочлен идеальным квадратом.
√x2 = x и √9 = 3
Умножая на 2, находим: 2. 3. х = 6х
Поскольку найденное значение равно члену, не возведенному в квадрат, полином является точным квадратом.
Таким образом, факторизация будет:
Икс2 + 6х + 9 = (х + 3)2
б) Разложите многочлен x на множители2 - 8xy + 9лет2
Проверка, является ли это трехчленом полного квадрата:
√x2 = x и √9y2 = 3 года
Делаем умножение: 2. Икс. 3y = 6xy
Найденное значение не соответствует члену многочлена (8xy ≠ 6xy).
Поскольку это не полный квадрат трехчлена, мы не можем использовать этот тип факторизации.
Разница двух квадратов
Разложить на множители многочлены типа a2 - В2 мы используем замечательное произведение суммы и разницы.
Таким образом, факторизация многочленов этого типа будет:
В2 - В2 = (а + Ь). (а - б)
Чтобы разложить на множители, мы должны вычислить квадратный корень из двух членов.
Затем запишите произведение суммы найденных значений и разницы между этими значениями.
Пример
Разложите бином на множители 9x2 - 25.
Сначала найдите квадратный корень из терминов:
√9x2 = 3x и √25 = 5
Запишите эти значения как произведение суммы и разницы:
9x2 - 25 = (3х + 5). (3x - 5)
идеальный куб
многочлены a3 + 3-й2b + 3ab2 + b3 и3 - 3-й2b + 3ab2 - В3 результат замечательного произведения типа (a + b)3 или (а - б)3.
Таким образом, факторизованная форма идеального куба:
В3 + 3-й2b + 3ab2 + b3 = (а + б)3
В3 - 3-й2b + 3ab2 - В3 = (а - б)3
Чтобы исключить такие многочлены, мы должны вычислить кубический корень из членов куба.
После этого необходимо подтвердить, что многочлен является идеальным кубом.
Если это так, мы кубим сумму или вычитаем из значений найденных кубических корней.
Примеры
a) Разложите многочлен x на множители3 + 6x2 + 12x + 8
Во-первых, давайте вычислим кубический корень из кубиков:
3√ х3 = x и 3√ 8 = 2
Затем убедитесь, что это идеальный куб:
3. Икс2. 2 = 6x2
3. Икс. 22 = 12x
Поскольку найденные члены такие же, как и члены многочлена, то это идеальный куб.
Таким образом, факторизация будет:
Икс3 + 6x2 + 12x + 8 = (х + 2)3
б) Разложите многочлен a на множители3 - 9-е2 + 27-27 места
Сначала давайте вычислим кубический корень из кубиков:
3к3 = а и 3√ - 27 = - 3
Затем убедитесь, что это идеальный куб:
3. В2. (-3) = - 9 место2
3. Файл. (- 3)2 = 27-е
Поскольку найденные члены такие же, как и члены многочлена, то это идеальный куб.
Таким образом, факторизация будет:
В3 - 9-е2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Тоже читай:
- Потенцирование
- Полиномы
- Полиномиальная функция
- простые числа
Решенные упражнения
Разложите на множители следующие многочлены:
а) 33x + 22y - 55z
б) 6nx - 6ny
в) 4x - 8c + mx - 2mc
г) 49 -2
д) 9-й2 + 12 + 4
а) 11. (3x + 2y - 5z)
б) 6н. (х - у)
в) (х - 2с). (4 + м)
г) (7 + а). (7 - а)
д) (3-й + 2)2
Смотрите также:
- Алгебраические выражения
- Упражнения на алгебраические выражения
- Известные продукты
- Известные продукты - упражнения
