Перестановки являются частью задач по счету. Мы используем перестановки, чтобы узнать количество порядков элементов в наборе. Практикуйте свои знания о перестановках и разрешите свои сомнения с помощью решенных упражнений.
Упражнение 1
Двое друзей играли в шестигранные кости. Известно, что выпали цифры 4, 1, 2 и 5, не обязательно именно в таком порядке. Сколько может быть последовательностей результатов?
Ответ: 24
Некоторый порядок результатов может быть следующим:
1, 2, 4 и 5 или
5, 4, 5 и 1 или
4, 5, 1 и 2
Чтобы определить общее количество возможных упорядочений, мы вычисляем перестановку с четырьмя различными элементами.
Упражнение 2
Группа из шести друзей пошла посмотреть фильм в кинотеатре и купила билеты на один и тот же ряд мест. Учитывая, что есть пара и они сидели на соседних стульях, сколькими способами эти друзья могли бы разместиться в ряду стульев?
Ответ: 240
Поскольку при расчете учитываются все элементы множества «друзей», возникает проблема перестановки.
Для расчета общего возможного количества перестановок мы рассмотрели 5 элементов, так как пара всегда должна быть вместе.
Причём из этих 120 возможностей надо умножить на два, так как пара может поменяться местами друг с другом.
Таким образом, количество возможных способов организоваться в ряду стульев для друзей равно:
120. 2 = 240
Упражнение 3
Класс из 7 учеников играет во дворе, воспользовавшись перерывом. Услышав сигнал о возвращении в классы, ученики выстраиваются в линию. Сколькими способами учащиеся могут сформировать последовательность очереди?
Ответ: 5040
Общее количество возможных способов организации очереди представляет собой перестановку 7 различных элементов.
Упражнение 4
Фотограф настраивает камеру, чтобы сфотографировать пятерых детей, сидящих на скамейке. В этой группе 3 девочки и 2 мальчика. Возможное расположение детей на фото будет такое:
Учитывая позы, в которых дети могут сидеть на скамейке, сколькими способами фотограф может организовать мальчиков и девочек, получая разные фотографии?
Ответ: 10
Это случай перестановки с повторяющимися элементами. Мы должны разделить общее количество перестановок на произведение между перестановками повторяющихся элементов.
Упражнение 5
Сколько анаграмм можно составить из букв слова PREFEITURA?
Ответ: 907 200
В слове МЭРИЯ 10 букв, некоторые из которых повторяются. Буква E появляется дважды, как и R.
Вычисляем деление между перестановками 10 элементов и делим на произведение перестановок повторяющихся элементов.
Упражнение 6
(UEMG 2019) Из множества всех перестановок букв в слове ПОНТА случайным образом удаляется одна. Какова вероятность удалить слово, которое начинается и заканчивается на гласную?
а) 1/20
б) 1/10
в) 1/6
г) 1/5
Шаг 1: количество всех перестановок с буквами слова ПОНТА.
Поскольку существует пять различных букв, мы имеем:
Шаг 2: количество перестановок, которые начинаются и заканчиваются гласной.
Для первой буквы есть два варианта гласных, для последней буквы будет только 1.
Согласных их 3! возможности.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Шаг 3: определить отношение вероятностей.
Упражнение 7
(EsPCex 2012) Вероятность получения числа, делящегося на 2, при случайном выборе одной из перестановок цифр 1, 2, 3, 4, 5 равна
а) 1/5
б) 2/5
в) 3/4
г) 1/4
д) 1/2
Шаг 1: полные перестановки.
Так как существует пять различных элементов, то число перестановок пяти элементов равно пяти факториалам.
Шаг 2: перестановки чисел, делящихся на два, с пятью цифрами.
Чтобы число делилось на 2, необходимо, чтобы оно было четным. Таким образом, есть два варианта последней цифры: 2 и 4.
На остальные позиции их 4! возможности.
Шаг 3: расчет вероятности.
Упражнение 8
(EsFCEx 2022) Пусть P — набор перестановок последовательности 1, 3, 6, 9, 12, для которых первый член отличается от 1. Если одна из этих последовательностей выбрана случайным образом, вероятность того, что второй член равен 3, равна p/q, при этом p, q ∈ IN* и НОД (p, q) = 1. Следовательно, q – p равно
а) 13.
б) 15.
в) 12.
г) 14.
д) 11.
Шаг 1: определить общее количество возможных случаев в выборочном пространстве.
Справа налево первое число не может быть единицей, поэтому есть 4 возможности занять первую позицию.
Остальные позиции займут 4! возможности.
Перестановки:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Шаг 2: определить возможности возникновения события, причем второго из трех, а первого – отличного от одного.
Перестановки:
3.1.3.2.1 = 18
Шаг 3: отношение вероятностей.
Отношение вероятностей:
При p = 18 и q = 96.
Однако по-прежнему существует условие, что наибольший общий делитель между p и q равен 1, чего не происходит с 18 и 96.
Мы должны упростить и проверить дроби, эквивалентные 18/96.
Шаг 4: упрощение доли вероятности и определение p и q.
Поскольку НОД (3, 16) = 1, p = 3 и q = 16.
Шаг 5: заключение.
д - п = 16 - 3 = 13
Узнать больше о перестановка.
Дополнительные упражнения см.:
Упражнения по комбинаторному анализу
АСТ, Рафаэль. Упражнения на перестановки решены и объяснены.Все имеет значение, [без даты]. Доступно в: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Доступ по адресу:
См. также
- Комбинаторный анализ
- Упражнения по комбинаторному анализу
- Перестановка: простая и с повторением
- Расстановка в математике: что это такое, как считать, примеры
- 27 упражнений по базовой математике
- Сочетания в математике: как считать и примеры
- Вероятностные упражнения
- Вероятность
