Ты комплексные числа возникают из-за необходимости разрешить уравнения который имеет корень отрицательного числа, которую до этого нельзя было решить, работая с действительными числами. Комплексные числа можно представить тремя способами: алгебраическая форма (z = а + би), состоящий из действительной части В и мнимая часть B; В Геометрическая форма, представлен в комплексной плоскости, также известной как плоскость Аргана-Гаусса; и твой тригонометрическая форма, также известна как полярная форма. Основываясь на их представлении, поскольку мы работаем с числовым набором, комплексные числа имеют четко определенные операции: сложение, вычитание, умножение, деление и потенцирование.
Через геометрическое представление на комплексной плоскости мы также определяем модуль (представленный |z|) комплексного числа - расстояние от точки, представляющей комплексное число, до начала координат - и каков аргумент комплексное число - угол, образованный между горизонтальной осью и дорожкой, соединяющей начало координат с точкой, представляющей число сложный.
потребность в комплексных числах
В математике расширение числового набора до нового на протяжении всей истории было довольно распространенным явлением. Оказывается, в ходе этого математика развивалась, а затем до соответствовать требованиям времени, было замечено, что были числа, которые не принадлежали к числовому набору, к которому он относился. Так было с появлением числовые наборы целые, рациональные, иррациональные и действительные числа, и ничем не отличалось, когда возникла необходимость расширить набор действительных чисел до комплексных чисел.
Когда мы пытаемся решить квадратные уравнения, довольно часто мы находим квадратный корень из отрицательного числа, который невозможно решить в наборе действительных чисел, отсюда и необходимость в комплексных числах. Начало изучения этих чисел было получено от важных математиков, таких как Джиральмо Кардоно, но их набор был формализован Гауссом и Арганом.
Читайте тоже: Геометрическое представление суммы комплексных чисел
алгебраическая форма комплексного числа
При попытке решить квадратное уравнение, такое как x² = –25, часто говорили, что оно неразрешимо. Однако в попытке алгебризировать алгебраическое представление, позволяющее производить операции с этими числами, даже если вы не можете вычислить квадратный корень из отрицательного числа.
Для облегчения разрешения ситуаций, в которых вы работаете с квадратный корень отрицательного числа, мнимая единица.
Итак, анализируя представленное уравнение x² = -25, мы получаем, что:
Таким образом, решения уравнения равны -5я e5я.
Чтобы определить алгебраическую форму, письмо я, известный как мнимая единица комплексного числа. Комплексное число представлено:
z = В + Bя
На что В а также B настоящие числа.
В: действительная часть, обозначенная как a = Re (z);
B: мнимая часть, обозначенная Im (z);
я: мнимая единица.
Примеры
) 2 + 3я
Б) -1 + 4я
ç) 5 – 0,2я
г) -1 – 3я
когда реальная часть равна нулю, номер известен как чисто воображаемый, например, -5я и 5я они - чистое воображение, потому что в них нет реальной части.
Когда мнимая часть равна нулю, комплексное число также является действительным числом.
Операции с комплексными числами
Как и любой числовой набор, операции должны быть хорошо определенный, следовательно, можно выполнять четыре основных операции над комплексными числами с учетом представленной алгебраической формы.
Сложение двух комплексных чисел
Для проведения добавление двух комплексных чисел z1 эз2, просуммируем действительную часть z1 эз2 и сумма мнимой части соответственно.
Быть:
z1 = а + бя
z2 = c + dя
z1 +z2 = (а + с) + (б + г)я
Пример 1
Реализация суммы z1 и z2.
z1 = 2 + 3я
z2 = 1 + 2я
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)я
z1 +z2= 3 + 5я
Пример 2
Реализация суммы z1 и z2.
z1 = 5 – 2я
z2 = – 3 + 2я
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)я
z1+z2 = (5 – 3) + 0я
z1 +z2= 3 + 0я = 3
Смотрите также: Геометрическое представление суммы комплексных чисел
Вычитание двух комплексных чисел
Прежде чем мы поговорим о вычитание, нам нужно определить, что такое инверсия комплексного числа, то есть z = a + bя. Обратное к z, обозначенное –z, является комплексным числом –z = –a –b.я.
Чтобы выполнить вычитание между z1и -z2, а также дополнительно сделаем вычитание между действительными частями и между мнимыми частями по отдельности, но нужно понимать, что -z2 это обратное комплексное число, поэтому необходимо играть в игру со знаками.
Пример 1
Выполнение вычитания z1 и z2.
z1 = 2 + 3я
z2 = 1 + 2я
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)я
z1–z2= 1 + 1я = 1+ я
Пример 2
Выполнение вычитания z1 и z2.
z1= 5 – 2я
z2 = – 3 + 2я
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)я
z1–z2= (5 + 3) + (–4)я
z1 –z2= 8 + (–4)я
z1 –z2= 8 –4я
Мнимые единицы мощности
Прежде чем говорить об умножении, нам нужно понять силу мнимой единицы. В поисках метода вычисления степеней янет, необходимо понимать, что эти мощности действуют циклически. Для этого посчитаем некоторые потенции в я.
Получается, что следующие полномочия - это не что иное, как его повторение, обратите внимание, что:
я 4 = я 2 · я 2 = (–1) (–1) = 1
я 5 = я 2 · я 3 = (–1) (–я) = я
По мере продолжения вычисления степеней ответами всегда будут элементы множества {1, i, –1, -я}, затем найти степень единицы янет, разделим n (показатель степени) на 4, а отдыхэтого подразделения (р = {0, 1, 2, 3}) будет новым показателем степени я.
Пример1
Расчет i25
Когда мы разделим 25 на 4, частное будет 6, а остаток будет равен 1. Итак, мы должны:
я 25 = я1 = я
Пример 2
Расчет я 403
Когда мы разделим 403 на 4, частное будет 100, потому что 100 · 4 = 400, а остальное будет 3, поэтому мы должны:
я 403 =я 3 = -я
Умножение комплексных чисел
Чтобы выполнить умножение двух комплексных чисел, применим распределительное свойство. Быть:
z1= а + бя
z2= c + dя, то продукт:
z1 · z2 = (a + bя) (c + dя), применяя распределительное свойство,
z1 · z2 = ac + adя + cbя + шкя 2, но, как мы видели, я ² = -1
z1 · z2 = ac + adя + cbя - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (ad + cb)я
Используя эту формулу, можно найти произведение любых двух комплексных чисел, но в В общем, декорировать его не нужно, так как для рассматриваемого расчета мы просто применяем свойство распределительный.
Пример
Расчет произведения (2 + 3я) (1 – 4я):
(2+3я) (1 – 4я) = 2 – 8я + 3я– 12я ², помня, что i² = -1:
(2 + 3я) (1 – 4я) = 2 – 8я + 3я+ 12
(2 + 3я) (1 – 4я) = (2 + 12) + (– 8 + 3)я
(2+3я) (1 – 4я) = 14 – 5я
Также доступ: Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел
Сопряжение комплексных чисел
Прежде чем говорить о делении, нам нужно понять, что такое сопряжение комплексного числа. Идея проста, чтобы найти сопряжение комплексного числа, просто обменятьмос знак мнимой части.
деление двух комплексных чисел
Для проведения деление двух комплексных чисел, нам нужно умножить дробь на сопряжение знаменателя, чтобы правильно определить действительную и мнимую части.
Пример
Расчет деления (6-4я): (4 + 2я)
Смотрите также: Противоположное, сопряженное и равенство комплексных чисел
Комплексная плоскость или плоскость Аргана-Гаусса
Известен как комплексный план или Планrgand-гаусс, он позволяет представление в геометрической форме сложного числа, этот план является адаптацией в Декартова плоскость для представления комплексных чисел. Горизонтальная ось известна как ось действительной части Re (z), а вертикальная ось известна как ось мнимой части Im (z). Итак, комплексное число, представленное а + бя генерирует точки на комплексной плоскости, образованной упорядоченной парой (a, b).
Пример
Представление числа 3 + 2я в геометрической форме Z (3,2).
Комплексное число по модулю и аргументу
Геометрически модуль комплексного числа - это расстояние от точки (а, б) который представляет это число в комплексной плоскости к происхождению, то есть точка (0,0).
Как видим, | z | гипотенуза прямоугольный треугольник, следовательно, его можно вычислить, применив теорема Пифагора, поэтому мы должны:
Пример:
Расчет модуля z = 1 + 3я
О Варгумент комплексного числа, геометрически, является угол образованный горизонтальной осью и | z |
Чтобы найти значение угла, мы должны:
Цель состоит в том, чтобы найти угол θ = arg z.
Пример:
Найдите аргумент комплексного числа: z = 2 + 2я:
Поскольку a и b положительны, мы знаем, что этот угол находится в первом квадранте, поэтому давайте вычислим | z |.
Зная | z |, можно вычислить синус и косинус.
Поскольку в этом случае a и b равны 2, то при вычислении sinθ мы найдем такое же решение для косинуса.
Зная значения sinθ и cosθ, обращаясь к таблице заметных углов и зная, что θ принадлежит первому квадранту, поэтому θ можно найти в градусах или радианах, поэтому мы заключаем какие:
Тригонометрическая или полярная форма
Представление комплексного числа в тригонометрическая форма это возможно только после того, как мы поймем концепцию модуля и аргумента. На основе этого представления разрабатываются важные концепции для изучения комплексных чисел на более продвинутом уровне. Чтобы выполнить тригонометрическое представление, мы запомним его алгебраическую форму z = a + bi, однако при анализе комплексной плоскости мы должны:
Подставляя в алгебраической форме значения a = | z | cos θ и b = | z | sen θ, мы должны:
г = а + бя
При z = | z | cos θ + | z | Senθ я, положив | z | в доказательство, мы приходим к формуле тригонометрической формы:
z = | z | (cos θ + я · Грех θ) |
Пример: Напишите в тригонометрической форме число
Чтобы писать в тригонометрической форме, нам нужны аргумент и модуль z.
1 шаг - Расчет | z |
Зная | z |, можно найти значение θ, обратившись к таблице заметных углов.
Теперь можно записать число z в его тригонометрической форме с углом в градусах или с углом, измеренным в радианах.
Читайте тоже: Излучение комплексных чисел в тригонометрической форме
решенные упражнения
Вопрос 1 - (UFRGS) Учитывая комплексные числа z1 = (2, –1) и z2 = (3, x), известно, что произведение между z1 и z2 это действительное число. Итак, x равен:
а) -6
б) -3/2
в) 0
г) 3/2
д) 6
разрешение
Альтернатива D.
Чтобы произведение было действительным числом, тогда мнимая часть равна нулю.
Записывая эти числа в алгебраической форме, мы должны:
z1 = 2 – 1я и z2 = 3 + хя
z1 · Z2 = (2 – 1я) (3 + хя)
z1 · Z2 = 6 + 2xя –3я - Икся ²
z1 · Z2 = 6 + 2xя –3я + Икс
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)я
Поскольку нас интересует, чтобы мнимая часть была равна нулю, мы решим для 2x - 3 = 0
Вопрос 2 - (UECE) Если i - комплексное число, квадрат которого равен -1, то значение 5я 227 + я 6 – я 13 это то же самое, что:
) я + 1
б) 4я –1
в) -6я –1
г) -6я
разрешение
Альтернатива C.
Чтобы решить это выражение, необходимо найти остаток от каждого из чисел от деления на 4.
227: 4 дает частное 56 и остаток 3.
я 227 = я 3 = –я
6: 4 дает частное 1 и остаток 2.
я 6 = я 2 = –1
13: 4 дает частное 3 и остаток 1.
я 13 = я1 = я
Итак, мы должны:
5я 227 + я 6 – я 13
5 (–я) + (–1) – я
–5я –1 – я
–6я – 1
Рауль Родригес де Оливейра
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm