THE модульное уравнение уравнение что в первом или втором члене имеет термины в модуле. Модуль, также известный как абсолютное значение, связан с расстоянием, которое число имеет до нуля. Поскольку мы говорим о расстоянии, модуль числа всегда положителен. Решение задач модульного уравнения требует применения определения модуля, мы обычно делим уравнение на два возможных случая:
когда то, что находится внутри модуля, положительно и
когда то, что находится внутри модуля, отрицательно.
Читайте тоже: В чем разница между функцией и уравнением?
один модуль действительных чисел
Чтобы иметь возможность решать задачи модульного уравнения, необходимо помнить определение модуля. Модуль всегда такой же, как расстояние, которое число имеет до нуля, и представить модуль числа нет, мы используем прямой стержень следующим образом: |нет|. Чтобы рассчитать |нет|, мы разделили на два случая:
Следовательно, можно сказать, что |нет| это то же самое нет когда это положительное число или равно нулю, а во втором случае |
нет| равно противоположности нет если он отрицательный. Помните, что противоположность отрицательного числа всегда положительна, поэтому |нет| всегда имеет результат, равный положительному числу.Примеры:
а) | 2 | = 2
б) | -1 | = - (- 1) = 1
Смотрите также: Как решить логарифмическое уравнение?
Как решить модульное уравнение?
Чтобы найти решение модульного уравнения, необходимо проанализировать каждую из возможностей, то есть разделить, всегда в двух случаях, каждый из модулей. Помимо знания определения модуля для решения модульных уравнений, важно знать, как решить полиномиальные уравнения.
Пример 1:
| х - 3 | = 5
Чтобы найти решение этого уравнения, важно помнить, что есть два возможных исхода, которые делают |нет| = 5, вот они, нет = -5, так как | -5 | = 5, а также нет = 5, потому что | 5 | = 5. Итак, используя ту же идею, мы должны:
I → x - 3 = 5 или
II → х - 3 = -5
Решая отдельно одно из уравнений:
Резолюция I:
х - 3 = 5
х = 5 + 3
х = 8
Резолюция II:
х - 3 = -5
х = -5 + 3
х = -2
Итак, есть два решения: S = {-2, 8}.
Обратите внимание, что если x = 8, уравнение верно, потому что:
| х - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Также обратите внимание, что если x = -2, уравнение также верно:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Пример 2:
| 2x + 3 | = 5
Как и в примере 1, чтобы найти решение, необходимо разделить его на два случая в соответствии с определением модуля.
Я → 2х + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Резолюция I:
2х + 3 = 5
2x = 5–3
2x = 2
х = 2/2
х = 1
Резолюция II:
2х + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
х = -8/2
х = -4
Тогда набор решений: S = {1, -4}.
Пример 3:
| х + 3 | = | 2x - 1 |
Когда у нас есть равенство двух модулей, нам нужно разделить его на два случая:
1-й корпус, первый и второй члены одного знака.
2-й падеж, первый и второй член противоположных знаков.
Резолюция I:
Мы сделаем две стороны больше нуля, то есть просто удалим модуль. Мы тоже можем обойтись обоими негативами, но результат будет тот же.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = х + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
х + 3 = 2х - 1
х - 2х = -1 - 3
х = -4 (-1)
х = 4
Резолюция II:
Стороны противоположных знаков. Мы выберем одну сторону как положительную, а другую - как отрицательную.
Выбираем:
| х + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = х + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Итак, нам необходимо:
х + 3 = - (2х - 1)
х + 3 = - 2х + 1
х + 2х = - 3 + 1
3x = -2
х = -2/3
Итак, набор решений: S = {4, -2/3}.
Также доступ: Что такое иррациональные уравнения?
решенные упражнения
Вопрос 1 - (UFJF) Число отрицательных решений модульного уравнения | 5x - 6 | = x² это:
А) 0
Б) 1
В) 2
Г) 3
E) 4
разрешение
Альтернатива E
Мы хотим решить модульное уравнение:
| 5x - 6 | = x²
Итак, разделим это на два случая:
Резолюция I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Итак, нам необходимо:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Помните, что значение дельты говорит нам, сколько решений имеет квадратное уравнение:
а = -1
б = 5
с = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Поскольку 1 положительно, то в этом случае есть два реальных решения.
Резолюция II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Поскольку Δ и в этом случае положительно, существует два действительных решения, поэтому общее количество реальных решений равно 4.
Вопрос 2 - (PUC SP) Множество решений S уравнения | 2x - 1 | = x - 1 это:
А) S = {0, 2/3}
Б) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
Г) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
разрешение
Альтернатива А
Резолюция I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Итак, нам необходимо:
2х - 1 = х - 1
2х - х = - 1 + 1
х = 0
Резолюция II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2х - 1) = х - 1
-2x + 1 = х - 1
-2x - х = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
х = 2/3
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm