Гипербола. определение гиперболы

Что такое гипербола?
Определение: Пусть F1 и F2 - две точки на плоскости, и пусть 2c - расстояние между ними, гипербола - это множество точек на плоскости, разность (по модулю) расстояний до F1 и F2 есть константа 2a (0 <2a <2c).
Элементы гиперболы:

F1 и F2 → - фокусы гиперболы
→ это центр гиперболы
2c → фокусное расстояние
2-я → измерение реальной или поперечной оси
2b → измерение мнимой оси
c / a → эксцентриситет
Существует связь между a, b и c → c² = the² + b²

Уравнение приведенной гиперболы
1-й случай: гипербола с фокусом на оси x.

Понятно, что в этом случае фокусы будут иметь координаты F1 (-c, 0) и F2 (c, 0).
Таким образом, приведенное уравнение эллипса с центром в начале декартовой плоскости и фокусом на оси x будет:

2-й случай: гипербола с фокусами на оси y.

В этом случае фокусы будут иметь координаты F1 (0, -c) и F2 (0, c).
Таким образом, сокращенное уравнение эллипса с центром в начале декартовой плоскости и фокусом на оси y будет:

Пример 1. Найдите приведенное уравнение гиперболы с действительной осью 6, фокусами F1 (-5, 0) и F2 (5, 0).

Решение: мы должны
2а = 6 → а = 3
F1 (-5, 0) и F2 (5, 0) → c = 5
Из этого замечательного соотношения мы получаем:
ç² = the² + b^2 → 5² = 3² + b² → б² = 25 - 9 → b² = 16 → Ь = 4
Таким образом, приведенное уравнение будет иметь вид:

Пример 2. Найдите сокращенное уравнение гиперболы, которое имеет два фокусировки с координатами F2 (0, 10) и мнимой осью размером 12.
Решение: мы должны
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Используя это замечательное соотношение, мы получаем:
10² = the² + 6² → 100 = а² + 36 → а² = 100 - 36 → а² = 64 → а = 8.
Таким образом, приведенное уравнение гиперболы будет иметь вид:

Пример 3. Определите фокусное расстояние гиперболы с помощью уравнения
Решение: поскольку уравнение гиперболы имеет тип  Мы должны
В² = 16 и b² =9
Из замечательного соотношения получаем
ç² = 16 + 9 → с² = 25 → с = 5
Фокусное расстояние равно 2c. Таким образом,
2c = 2 * 5 = 10
Итак, фокусное расстояние 10.

Марсело Ригонатто
Специалист по статистике и математическому моделированию
Бразильская школьная команда

Аналитическая геометрия - Математика - Бразильская школа