А пропорция золотой или божественная пропорция – это равенство, связанное с идеями гармонии, красоты и совершенства. Евклид Александрийский, греческий математик, живший около 300 г. до н.э. К., был одним из первых мыслителей, формализовавших это понятие, которое до сих пор интригует исследователей из разных областей.
Причина такого интереса в том, что золотое сечение можно приблизительно наблюдать в природе, в том числе в семенах и листьях растений и в организме человека. Следовательно, золотое сечение является предметом изучения разных специалистов, таких как биологи, архитекторы, художники и дизайнеры.
Читайте также: Число пи — одна из самых важных констант в математике
Резюме о золотом сечении
Золотое сечение – это отношение \(а>б>0\) такой, что
\ (\ гидроразрыва {а + Ь} а = \ гидроразрыва {а} б \)
В этих условиях причиной Б называется золотым сечением.
Золотое сечение связано с представлениями о балансе, чистоте и совершенстве.
Греческая буква ϕ (читается: фи) представляет собой золотое число, которое является константой, полученной из золотого сечения.
В последовательности Фибоначчи отношения между каждым членом и его предшественником приближаются к золотому числу.
Золотой прямоугольник — это прямоугольник, стороны которого находятся в золотом сечении.
Что такое золотое сечение?
Рассмотрим отрезок, разделенный на две части: большая длина и самый маленький Б. пойми это а+б является мерой всего сегмента.
золотое сечение равенство среди причин\ (\ mathbf {\ гидроразрыва {а + Ь} а} \) Это \ (\ mathbf {\ гидроразрыва {а} {b}} \), т.е.
\ (\ гидроразрыва {а + Ь} а = \ гидроразрыва {а} б \)
В этом контексте мы говорим, что Это Б находятся в золотом сечении.
Но при каких значениях Это Б у нас золотое сечение? Это то, что мы увидим дальше.
Как рассчитать золотое число?
Причина \ (\ гидроразрыва {а} б \)(или, аналогично, причина \ (\ гидроразрыва {а + Ь} а \)) приводит к константе, называемой золотым числом и обозначается греческой буквой ϕ. Таким образом, принято писать
\ (\ гидроразрыва {а + b} а = \ гидроразрыва {а} б = ϕ \)
Чтобы вычислить золотое число, давайте рассмотрим золотое сечение для b = 1. Таким образом, мы можем легко найти значение и получить ф из равенства \ (\ mathbf {\ гидроразрыва {а} {b} = ϕ} \).
Обратите внимание, что мы можем записать золотое сечение следующим образом, используя свойство перекрестного умножения:
\(а^2=b⋅(а+б)\)
Подставляя b = 1, имеем
\(а^2=1⋅(а+1)\)
\(а^2-а-1=0\)
Применение формулы Бхаскары для этого квадратного уравнения заключаем, что положительное решение уравнения é
\(а=\фракция{1+\sqrt5}2\)
Как является мерой отрезка, отрицательным решением пренебрежем.
Так как \ (\ гидроразрыва {а} б = ϕ \), Точное значение золотого числа:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Вычисляя частное, получаем Примерное значение золотого числа:
\(ϕ≈1,618033989\)
Смотрите также: Как решать математические операции с дробями?
Золотое сечение и последовательность Фибоначчи
А Последовательность Фибоначчи — это список чисел где каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Давайте посмотрим на первые десять членов этой последовательности:
\(а_1=1\)
\(а_2=1\)
\(а_3=1+1=2\)
\(а_4=1+2=3\)
\(а_5=2+3=5\)
\(а_6=3+5=8\)
\(а_7=5+8=13\)
\(а_8=8+13=21\)
\(а_9=13+21=34\)
\(а_{10}=21+34=55\)
Когда мы вычисляем частное между каждым термином и его предшественником в последовательности Фибоначчи, мы приближаемся к золотому числу ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Золотое сечение и золотой прямоугольник
Один прямоугольник где самая длинная сторона и меньшая сторона Б находятся в золотом сечении это называется золотой прямоугольник. Примером золотого прямоугольника является прямоугольник, стороны которого равны 1 см, а \(\ гидроразрыва{1+\sqrt5}2\) см.
Узнать больше: Что такое прямо пропорциональные величины?
Применение золотого сечения
Обратите внимание, что до сих пор мы изучали золотое сечение только в абстрактном математическом контексте. Далее мы увидим несколько прикладных примеров, но здесь нужна осторожность: ни в одном из этих случаев золотое сечение точно не представлено. Что существует, так это анализ различных контекстов, в которых золотое число появляется такприблизительный.
Золотое сечение в архитектуре
Некоторые исследования утверждают, что оценки количества золота наблюдаются в определенных соотношениях размеров пирамиды Хеопса в Египте и здания штаб-квартиры ООН в Нью-Йорке.
Золотое сечение в организме человека
Измерения человеческого тела варьируются от одного человека к другому, и идеального типа телосложения не существует. Однако по крайней мере со времен Древней Греции велись споры о математически идеальном теле (и совершенно недостижимом в реальности) с измерениями, связанными с золотым сечением. В этом теоретическом контексте, например, отношение роста человека к расстоянию между его пупком и землей было бы золотым числом.
золотое сечение в искусстве
Есть исследования произведений «Витрувианский человек» и «Мона Лиза» итальянца Леонардо да Винчи, которые предполагают использование золотых прямоугольников.
Золотое сечение в природе
Есть исследования, указывающие на Связь между золотым сечением и распределением листьев некоторых растений на стебле. Такое расположение листьев называется филлотаксией.
Золотое сечение в дизайне
Золотое сечение также изучается и используется в области дизайна в качестве инструмент для составления проекта.
Решенные упражнения на золотое сечение
Вопрос 1
(Энем) Отрезок линии делится на две части в золотом сечении, когда целое относится к одной из частей в том же отношении, что эта часть к другой. Эта константа пропорциональности обычно обозначается греческой буквой ϕ, а ее значение определяется положительным решением уравнения ϕ2 = ϕ+1.
Так же, как сила \(ϕ^2\), высшие степени ϕ можно представить в виде \(аф+б\), где a и b — целые положительные числа, как показано в таблице.
потенция \(ϕ^7\), записанный в виде aϕ+b (a и b — целые положительные числа), есть
а) 5ф+3
б) 7ф+2
в) 9ф+6
г) 11ф+7
д) 13ф+8
Разрешение
Как \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Мы должны
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Применение дистрибутива,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Как \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
альтернатива Е.
вопрос 2
Оцените каждое приведенное ниже утверждение о золотом числе как T (верно) или F (неверно).
я. Золотое число ϕ иррационально.
II. Частные между каждым членом и его предшественником в последовательности Фибоначчи приближаются к значению ϕ.
III. 1,618 — это округление до трех знаков после запятой золотого числа ϕ.
Правильная последовательность сверху вниз:
а) В-В-В
б) Ф-В-Ф
в) В-Ф-В
г) Ф-Ф-Ф
д) Ф-В-В
Разрешение
я. Истинный.
II. Истинный.
III. Истинный.
Альтернатива А.
Источники
ФРАНЦИСКО, С. В. от Л. Между очарованием и реальностью золотого сечения. Диссертация (профессиональная степень магистра математики в национальной сети) - Институт биологических наук, литературы и точных наук, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Сан-Паулу, 2017 год. Доступно в: http://hdl.handle.net/11449/148903.
СЕЙЛЗ, Дж. от С. Золотое сечение присутствует в природе. Завершение курсовой работы (степень математики), Федеральный институт образования, науки и технологий Пиауи. Пиауи, 2022 год. Доступно в http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/ручка/123456789/1551.
Мария Луиза Алвес Риццо
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
