Экспоненциальная функция: 5 упражнений с комментариями

THE экспоненциальная функция любая функция от ℝ в ℝ^*_+, определяется как f (x) = a^Икс, где a - действительное число, большее нуля и не равное 1.

Воспользуйтесь упражнениями с комментариями, чтобы развеять все ваши сомнения по поводу этого содержания и обязательно проверьте свои знания в решенных вопросах конкурсов.

Комментируемые упражнения

Упражнение 1

Группа биологов изучает развитие определенной колонии бактерий и обнаружили, что в идеальных условиях количество бактерий можно определить с помощью выражения N (t) = 2000. 2^{0,5 т}, находясь в часах.

В этих условиях через какое время после начала наблюдения количество бактерий достигнет 8192000?

Решение

В предложенной ситуации мы знаем количество бактерий, то есть мы знаем, что N (t) = 8192000, и мы хотим найти значение t. Итак, просто замените это значение в данном выражении:

Чтобы решить это уравнение, давайте запишем число 4096 в простых множителях, потому что, если у нас одинаковое основание, мы можем равнять показатели. Таким образом, если разложить число на множители, то получим:

Таким образом, через 1 день (24 часа) с начала наблюдения в культуре будет 8 192 000 бактерий.

Упражнение 2.

Радиоактивные материалы имеют естественную тенденцию со временем разрушать свою радиоактивную массу. Время, за которое распадается половина его радиоактивной массы, называется периодом полураспада.

Количество радиоактивного материала данного элемента определяется как:

Существование,

N (t): количество радиоактивного материала (в граммах) в данный момент времени.
N₀: исходное количество материала (в граммах)
T: время полураспада (в годах)
t: время (в годах)

Учитывая, что период полураспада этого элемента равен 28 годам, определите время, необходимое для того, чтобы радиоактивный материал уменьшился до 25% от его первоначального количества.

Решение

Для предлагаемой ситуации A (t) = 0,25 A₀ = 1/4 А₀, поэтому мы можем записать данное выражение, заменив T на 28 лет, тогда:

Следовательно, потребуется 56 лет, чтобы количество радиоактивного материала сократилось на 25%..

Вопросы конкурса

1) Unesp - 2018

Ибупрофен - это прописанное лекарство от боли и лихорадки с периодом полувыведения примерно 2 часа. Это означает, что, например, после 2 часов приема 200 мг ибупрофена только 100 мг лекарства останется в кровотоке пациента. Еще через 2 часа (всего 4 часа) в кровотоке останется только 50 мг и так далее. Если пациент получает 800 мг ибупрофена каждые 6 часов, количество этого лекарства, которое останется в кровотоке в течение 14 часов после приема первой дозы, составит

а) 12,50 мг
б) 456,25 мг
в) 114,28 мг
г) 6,25 мг
д) 537,50 мг

См. Ответ

Поскольку начальное количество лекарства в кровотоке каждые 2 часа делится пополам, мы можем представить эту ситуацию, используя следующую схему:

Обратите внимание, что показатель степени в каждой ситуации равен времени, деленному на 2. Таким образом, мы можем определить количество лекарства в кровотоке как функцию времени, используя следующее выражение:

Существование

Q (t): количество в данный час
Q₀: начальное количество проглоченного
t: время в часах

Учитывая, что каждые 6 ч принимали 800 мг ибупрофена, мы имеем:

Чтобы определить количество лекарства в кровотоке через 14 часов после приема 1-й дозы, мы должны сложить количества, относящиеся к 1-й, 2-й и 3-й дозам. Рассчитав эти количества, мы имеем:

Количество 1-й дозы будет найдено, учитывая время, равное 14 часам, поэтому имеем:

Для второй дозы, как показано на диаграмме выше, время составило 8 часов. Подставляя это значение, мы получаем:

Время для 3-й дозы составит всего 2 часа. Таким образом, количество, относящееся к третьей дозе, будет:

Теперь, когда мы знаем количество каждой принятой дозы, мы можем найти общую сумму, добавив каждую из найденных сумм:

Q_общее= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 мг

Альтернатива б) 456,25 мг

2) УЭРЖ - 2013 г.

Озеро, которое питало город, было загрязнено после промышленной аварии, достигнув уровня токсичности T₀, что соответствует десятикратному исходному уровню.
Прочтите информацию ниже.

• Естественный сток озера позволяет обновлять 50% его объема каждые десять дней.
• Уровень токсичности T (x) через x дней после аварии можно рассчитать с помощью следующего уравнения:

Считайте D наименьшим количеством дней прекращения подачи воды, необходимым для возврата токсичности к исходному уровню.
Если log 2 = 0,3, значение D равно:

а) 30
б) 32
в) 34
г) 36

См. Ответ

Для возврата к исходному уровню токсичности необходимо, чтобы:

Подставляя это значение в данную функцию, мы имеем:

Умножая "крест", уравнение принимает следующий вид:

2 ^0,1x= 10

Давайте применим логарифм с основанием 10 к обеим сторонам, чтобы превратить его в уравнение 1-й степени:

журнал (2^0,1x) = журнал 10

Помня, что логарифм 10 в базе 10 равен 1, наше уравнение будет выглядеть так:

0,1x. журнал 2 = 1

Учитывая, что log 2 = 0,3, и подставляя это значение в уравнение:

Таким образом, наименьшее количество дней, на которое должна быть приостановлена ​​поставка, составляет примерно 34 дня.

Вариант c) 34

3) Fuvesp - 2018 г.

Пусть f: ℝ → ℝ и g: ℝ₊ → ℝ определяется как

соответственно.

График составной функции g_ºВера:

См. Ответ

График, который вы ищете, представляет собой составную функцию g_ºf, поэтому первым шагом является определение этой функции. Для этого мы должны заменить функцию f (x) на x функции g (x). Сделав эту замену, мы обнаружим:

Используя свойство логарифмирования частного и степени, мы имеем:

Обратите внимание, что найденная выше функция имеет тип ax + b, который является аффинной функцией. Так что ваш график будет прямой.

Кроме того, наклон а равен log₁₀ 5, что является положительным числом, поэтому график будет увеличиваться. Таким образом, мы можем исключить варианты b, c и e.

У нас остались варианты a и d, однако, когда x = 0, мы имеем gof = - log₁₀ 2, что является отрицательным значением, как показано на графике а.

Альтернатива а)

4) Unicamp - 2014 г.

На приведенном ниже графике показана кривая биотического потенциала q (t) для популяции микроорганизмов в зависимости от времени t.

Поскольку a и b являются действительными константами, функция, которая может представлять этот потенциал, имеет вид

а) q (t) = at + b
б) q (t) = ab^т
в) q (t) = при² + bt
г) q (t) = a + log _B т

См. Ответ

Из представленного графика мы можем определить, что при t = 0 функция равна 1000. Кроме того, также можно заметить, что функция не является аффинной, поскольку график не является прямой линией.

Если бы функция имела тип q (t) = at²+ bt, когда t = 0, результат будет равен нулю, а не 1000. Так что это тоже не квадратичная функция.

Как войти_B0 не определен и не может иметь в качестве ответа функцию q (t) = a + log_Bт.

Таким образом, единственным вариантом будет функция q (t) = ab^т. Учитывая t = 0, функция будет q (t) = a, поскольку a - постоянное значение, достаточно, чтобы оно было равно 1000, чтобы функция соответствовала данному графику.

Альтернатива б) q (t) = ab^т

5) Энем (ППЛ) - 2015 г.

Профсоюз работников компании предлагает установить минимальную заработную плату для класса в размере 1800 реалов, предлагая фиксированное процентное повышение на каждый год, посвященный работе. Выражение, которое соответствует предложению (предложениям) по заработной плате в зависимости от стажа работы (t) в годах, составляет s (t) = 1800. (1,03)^т .

Согласно предложению профсоюза, заработная плата специалиста этой компании со стажем работы 2 года будет в реалах

а) 7 416,00
б) 3 819,24
в) 3709,62
г) 3 708,00
д) 1909,62.

См. Ответ

Выражение для расчета заработной платы как функции времени, предложенное профсоюзом, соответствует экспоненциальной функции.

Чтобы найти значение заработной платы в указанной ситуации, давайте вычислим значение s при t = 2, как указано ниже:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Альтернатива e) 1 909,62

Тоже читай:

• Экспоненциальная функция
• Логарифм
• Логарифм - Упражнения
• Свойства логарифма
• Потенцирование
• упражнения на потенцирование
• Аффинная функция
• Линейная функция
• Связанные функциональные упражнения
• Квадратичная функция
• Квадратичная функция - упражнения
• Математические формулы