Транспонированная матрица: определение, свойства и упражнения

Транспонирование матрицы A - это матрица, которая имеет те же элементы, что и A, но размещена в другом месте. Это достигается путем упорядоченного переноса элементов из строк A в столбцы транспонирования.

Следовательно, для матрицы A = (a_ij)_mxn транспонирование A - это A^т = (a ’_джи) _{п х м}.

Существование,

i: положение строки
j: позиция столбца
В_ij: элемент массива в позиции ij
m: количество строк матрицы
n: количество столбцов в матрице
THE^т: транспонированная матрица A

Обратите внимание, что матрица A имеет порядок m x n, а ее транспонированная матрица A^т имеет порядок n x m.

Пример

Найдите матрицу, транспонированную из матрицы B.

Поскольку данная матрица имеет тип 3x2 (3 строки и 2 столбца), ее транспонирование будет иметь тип 2x3 (2 строки и 3 столбца).
Чтобы построить транспонированную матрицу, мы должны записать все столбцы B как строки B^т. Как показано на схеме ниже:

Таким образом, транспонированная матрица B будет:

Смотри тоже: Матрицы

Свойства транспонированной матрицы

(THE^т)^т= A: Это свойство указывает, что транспонированная матрица является исходной матрицей.

instagram story viewer

(А + В)^т = А^т + B^т: транспонирование суммы двух матриц равно сумме транспонирования каждой из них.
(THE. Б)^т = B^т. THE^т: транспонирование умножения двух матриц равно произведению транспонирования каждой из них в обратном порядке.
det (M) = det (M^т): определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Симметричная матрица

Матрица называется симметричной, если для любого элемента матрицы A выполняется равенство a_ij = the_джи это правда.

Матрицы этого типа являются квадратными матрицами, то есть количество строк равно количеству столбцов.

Каждая симметричная матрица удовлетворяет следующему соотношению:

А = А^т

Противоположная матрица

Важно не перепутать противоположную матрицу с транспонированной. Противоположная матрица - это матрица, которая содержит одинаковые элементы в строках и столбцах, но с разными знаками. Таким образом, противоположностью B является –B.

Обратная матрица

THE обратная матрица (обозначается цифрой –1) - это матрица, в которой произведение двух матриц равно квадратной единичной матрице (I) того же порядка.

Пример:

THE. B = B. А = Я_нет (когда матрица B обратна матрице A)