Матрицы: упражнения с комментариями и решениями

Матрица - это таблица, состоящая из действительных чисел, упорядоченная по строкам и столбцам. Числа, которые появляются в матрице, называются элементами.

Воспользуйтесь решенными и прокомментированными вопросами вступительного экзамена, чтобы развеять все свои сомнения относительно этого содержания.

Решенные вопросы вступительных экзаменов

1) Unicamp - 2018 г.

Пусть a и b - действительные числа такие, что матрица A = удовлетворяет уравнению A²= aA + bI, где I - единичная матрица порядка 2. Таким образом, произведение ab равно

а) −2.
б) −1.
в) 1.
г) 2.

См. Ответ

Чтобы узнать стоимость продукта a.b, нам сначала нужно узнать значение a и b. Итак, давайте рассмотрим уравнение, данное в задаче.

Чтобы решить уравнение, давайте вычислим значение A², что делается путем умножения матрицы A на себя, то есть:

Эта операция выполняется путем умножения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы, как показано ниже:

Таким образом, матрица A² это то же самое, что:

Учитывая только что найденное значение и помня, что в единичной матрице элементы главной диагонали равны 1, а остальные элементы равны 0, уравнение будет иметь следующий вид:

Теперь нам нужно умножить матрицу A на число a и единичную матрицу на число b.

Помните, что для умножения числа на массив мы умножаем число на каждый элемент массива.

Таким образом, наше равенство будет равно:

Складывая две матрицы, получаем:

Две матрицы равны, когда все соответствующие элементы равны. Таким образом, мы можем написать следующую систему:

Выделение a во втором уравнении:

Подставляя найденное значение a в первое уравнение, находим значение b:

2 + Ь = 1
б = 1-2
б = -1

Таким образом, товар будет отдан:

Файл. б = - 1. 2
Файл. б = - 2

Альтернатива: а) −2.

2) Unesp - 2016 г.

Точка P с координатами (x, y) ортогональной декартовой плоскости представлена ​​матрицей столбцов. , а также матрица столбцов представляет в ортогональной декартовой плоскости точку P координат (x, y). Таким образом, результат умножения матриц представляет собой матрицу-столбец, которая в ортогональной декартовой плоскости обязательно представляет точку, которая

а) поворот P на 180 ° по часовой стрелке с центром в (0, 0).
б) поворот P на 90 ° против часовой стрелки с центром в (0, 0).
в) симметрично P относительно горизонтальной оси x.
г) симметрично P относительно вертикальной оси y.
e) поворот P на 90º по часовой стрелке с центром в (0, 0).

См. Ответ

Точка P представлена ​​матрицей, так что абсцисса (x) обозначается элементом a.₁₁ а ордината (y) - по элементу a₂₁ матрицы.

Чтобы найти новое положение точки P, мы должны решить умножение представленных матриц, и результат будет:

Результат представляет собой новую координату точки P, то есть абсцисса равна -y, а ордината равна x.

Чтобы идентифицировать преобразование, которому подверглось положение точки P, давайте представим ситуацию в декартовой плоскости, как показано ниже:

Таким образом, точка P, которая сначала располагалась в 1-м квадранте (положительная абсцисса и ордината), переместилась во 2-й квадрант (отрицательная абсцисса и положительная ордината).

При перемещении в это новое положение точка была повернута против часовой стрелки, как показано на изображении выше красной стрелкой.

Нам все еще нужно определить, какое было значение угла поворота.

Соединив исходное положение точки P с центром декартовой оси и проделав то же самое с ее новым положением P ', мы получим следующую ситуацию:

Обратите внимание, что два треугольника, указанные на рисунке, совпадают, то есть имеют одинаковые размеры. Таким образом, их углы также совпадают.

Кроме того, углы α и θ дополняют друг друга, поскольку сумма внутренних углов треугольников равна 180 °, а поскольку треугольник является прямоугольным, сумма этих двух углов будет равна 90 °.

Следовательно, угол поворота точки, обозначенной на рисунке буквой β, может быть только 90º.

Альтернатива: б) поворот P на 90 ° против часовой стрелки с центром в (0, 0).

3) Unicamp - 2017 г.

Поскольку a - действительное число, рассмотрим матрицу A = . Итак²⁰¹⁷ это то же самое, что и
)
Б)
ç)
г)

См. Ответ

Во-первых, давайте попробуем найти образец для степеней, так как умножить матрицу A на себя 2017 раз - это большая работа.

Помня, что при матричном умножении каждый элемент находится путем сложения результатов умножения элементов в строке одного на элементы в столбце другого.

Начнем с вычисления A²:

Результатом была единичная матрица, и когда мы умножаем любую матрицу на единичную матрицу, результатом будет сама матрица.

Следовательно, значение A³ будет равна самой матрице A, поскольку A³ = А². THE.

Этот результат будет повторяться, то есть, когда показатель степени четный, результатом будет единичная матрица, а когда он нечетный, это будет сама матрица A.

Так как 2017 год нечетный, то результат будет равен матрице A.

Альтернатива: б)

4) УФСМ - 2011 г.

Данная диаграмма представляет собой упрощенную пищевую цепочку данной экосистемы. Стрелки указывают на вид, которым питается другой вид. Присваивая значение 1, когда один вид питается другим, и ноль, когда происходит обратное, мы получаем следующую таблицу:

Матрица A = (a_ij)_4x4, связанный с таблицей, имеет следующий закон обучения:

См. Ответ

Поскольку номер строки обозначается i, а номер столбца - j, и глядя на таблицу, мы замечаем, что когда i равно j или i больше j, результат равен нулю.

Позиции, занимаемые цифрой 1, - это те, в которых номер столбца больше номера строки.

Альтернатива: c)

5) Unesp - 2014 г.

Рассмотрим матричное уравнение A + BX = X + 2C, неизвестным для которого является матрица X, а все матрицы являются квадратами порядка n. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы это уравнение имело единственное решение, является то, что:

а) B - I ≠ O, где I - единичная матрица порядка n, а O - нулевая матрица порядка n.
б) B обратим.
в) B ≠ O, где O - нулевая матрица порядка n.
г) B - I обратима, где I - единичная матрица порядка n.
д) A и C обратимы.

См. Ответ

Чтобы решить матричное уравнение, нам нужно изолировать X по одну сторону от знака равенства. Для этого сначала вычтем матрицу A с обеих сторон.

А - А + ВХ = Х + 2С - А
ВХ = Х + 2С - А

Теперь давайте вычтем X, также с обеих сторон. В этом случае уравнение будет иметь следующий вид:

ВХ - Х = Х - Х + 2С - А
ВХ - Х = 2С - А
Х. (В - I) = 2С - А

Поскольку I - это единичная матрица, когда мы умножаем матрицу на единицу, результатом становится сама матрица.

Итак, чтобы изолировать X, мы должны теперь умножить обе стороны знака равенства на обратную матрицу (B-I), то есть:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2С - А)

Помните, что когда матрица обратима, произведение матрицы на обратное равно единичной матрице.
X = (B - I) ^{- 1}. (2С - А)

Таким образом, уравнение будет иметь решение, когда B - I обратимо.

Альтернатива: г) B - I обратима, где I - единичная матрица порядка n.

6) Энем - 2012 г.

Учащийся записывал раз в два месяца оценки по некоторым из своих предметов в таблице. Он отметил, что числовые записи в таблице формируют матрицу 4x4 и что он может рассчитывать среднегодовые значения для этих дисциплин, используя произведение матриц. Все тесты имели одинаковый вес, и таблица, которую он получил, представлена ​​ниже.

Чтобы получить эти средние значения, он умножил матрицу, полученную из таблицы, на

См. Ответ

Среднее арифметическое вычисляется путем сложения всех значений и деления на количество значений.

Таким образом, ученик должен сложить оценки 4 биметров и разделить результат на 4 или умножить каждую оценку на 1/4 и сложить все результаты.

Используя матрицы, мы можем добиться того же результата, выполняя матричное умножение.

Однако мы должны помнить, что перемножение двух матриц возможно только тогда, когда количество столбцов в одной равно количеству строк в другой.

Так как матрица заметок имеет 4 столбца, матрица, которую мы собираемся перемножить, должна иметь 4 строки. Таким образом, мы должны умножить на матрицу-столбец:

Альтернатива: и

7) Fuvest - 2012 г.

Рассмотрим матрицу , На что В это действительное число. Зная, что A допускает обратное A^-1 чей первый столбец , сумма элементов главной диагонали A^-1 это то же самое, что и

а) 5
б) 6
в) 7
г) 8
д) 9

См. Ответ

Умножение матрицы на ее инверсию равно единичной матрице, поэтому мы можем представить ситуацию с помощью следующей операции:

Решая умножение второй строки первой матрицы на первый столбец второй матрицы, мы получаем следующее уравнение:

(к 1). (2а - 1) + (а + 1). (- 1) = 0
2-й² - а - 2а + 1 + (-а) + (-1) = 0
2-й² - 4-й = 0
2-й (а - 2) = 0
а - 2 = 0
а = 2

Подставляя значение a в матрицу, мы имеем:

Теперь, когда мы знаем матрицу, давайте вычислим ее определитель:

Таким образом, сумма главной диагонали будет равна 5.

Альтернатива: а) 5

Чтобы узнать больше, см. Также:

• Матрицы
• Детерминанты
• Правило Сарруса
• Теорема Лапласа
• Транспонированная матрица