Теорема Пифагора: решенные и прокомментированные упражнения

Теорема Пифагора указывает, что в прямоугольном треугольнике квадрат меры гипотенузы равен сумме квадратов мер катетов.

Воспользуйтесь решенными и прокомментированными упражнениями, чтобы ответить на все ваши сомнения по поводу этого важного содержания.

Предлагаемые упражнения (с разрешением)

Вопрос 1

Карлос и Ана вышли из дома на работу из той же точки, из гаража дома, где они живут. Через 1 мин, путешествуя перпендикулярным путем, они были на расстоянии 13 м друг от друга.

Если машина Карлоса за это время сделала на 7 метров больше, чем машина Аны, как далеко они были от гаража?

а) Карлос находился в 10 м от гаража, а Ана - в 5 м.
б) Карлос находился в 14 м от гаража, а Ана - в 7 м.
в) Карлос находился в 12 м от гаража, а Ана - в 5 м.
г) Карлос находился в 13 м от гаража, а Ана - в 6 м.

См. Ответ

Правильный ответ: в) Карлос находился в 12 м от гаража, а Ана - в 5 м.

Стороны прямоугольного треугольника, образованного в этом вопросе, следующие:

• гипотенуза: 13 м
• большая нога: 7 + x
• более короткая нога: x

Применяя значения теоремы Пифагора, мы имеем:

Теперь применим формулу Бхаскары, чтобы найти значение x.

Поскольку это мера длины, мы должны использовать положительное значение. Следовательно, стороны прямоугольного треугольника, образованного в этом вопросе, следующие:

• гипотенуза: 13 м
• более длинная нога: 7 + 5 = 12 м
• более короткая ножка: x = 5 м

Таким образом, Ана была в 5 метрах от гаража, а Карлос - в 12 метрах.

вопрос 2

Карла, когда искала своего котенка, увидела его на вершине дерева. Затем она попросила свою мать о помощи, и они поставили у дерева лестницу, чтобы помочь кошке спуститься.

Зная, что кошка находилась в 8 метрах от земли, а основание лестницы было расположено в 6 метрах от дерева, какова длина лестницы, чтобы спасти котенка?

а) 8 метров.
б) 10 метров.
в) 12 метров.
г) 14 метров.

См. Ответ

Правильный ответ: б) 10 метров.

Обратите внимание, что высота, на которой находится кошка, и расстояние до основания лестницы составляют прямой угол, то есть угол в 90 градусов. Поскольку лестница расположена напротив прямого угла, ее длина соответствует гипотенузе прямоугольного треугольника.

Применяя значения, указанные в теореме Пифагора, мы обнаруживаем значение гипотенузы.

Следовательно, длина лестницы составляет 10 метров.

вопрос 3

В соответствии с мерами, представленными в альтернативных вариантах ниже, какие значения представляют собой прямоугольный треугольник?

а) 14 см, 18 см и 24 см
б) 21 см, 28 см и 32 см
в) 13 см, 14 см и 17 см
г) 12 см, 16 см и 20 см

См. Ответ

Правильный ответ: г) 12 см, 16 см и 20 см.

Чтобы выяснить, образуют ли представленные меры прямоугольный треугольник, мы должны применить теорему Пифагора для каждой альтернативы.

а) 14 см, 18 см и 24 см

б) 21 см, 28 см и 32 см

в) 13 см, 14 см и 17 см

г) 12 см, 16 см и 20 см

Следовательно, размеры 12 см, 16 см и 20 см соответствуют сторонам прямоугольного треугольника, поскольку квадрат гипотенузы, самая длинная сторона, равен сумме квадратов катетов.

вопрос 4

Обратите внимание на следующие геометрические фигуры, одна сторона которых расположена в гипотенузе прямоугольного треугольника размером 3 м, 4 м и 5 м.

Найдите высоту (h) равностороннего треугольника BCD и значение диагонали (d) квадрата BCFG.

а) h = 4,33 м и d = 7,07 м
б) h = 4,72 м и d = 8,20 м
в) h = 4,45 м и d = 7,61 м
г) h = 4,99 м и d = 8,53 м

См. Ответ

Правильный ответ: а) h = 4,33 м и d = 7,07 м.

Поскольку треугольник равносторонний, это означает, что его три стороны имеют одинаковую длину. Проведя линию, соответствующую высоте треугольника, мы разбиваем его на два прямоугольных треугольника.

То же самое и с квадратом. Когда мы рисуем его диагональную линию, мы видим два прямоугольных треугольника.

Применяя данные из утверждения теоремы Пифагора, мы обнаруживаем следующие значения:

1. Расчет высоты треугольника (ножка прямоугольного треугольника):

Затем мы приходим к формуле для расчета высоты. Теперь просто подставьте значение L и вычислите его.

2. Расчет диагонали квадрата (гипотенуза прямоугольного треугольника):

Следовательно, высота равностороннего треугольника BCD равна 4,33, а значение диагонали квадрата BCFG равно 7,07.

Смотри тоже: теорема Пифагора

Решенные вопросы вступительных экзаменов

вопрос 5

(Cefet / MG - 2016) Воздушный змей, рисунок которого показан ниже, был построен в формате четырехугольника ABCD, будучи а также . палка воздушного змея пересекает стержень в своей средней точке E, образуя прямой угол. В конструкции этого воздушного змея меры используются, соответственно, 25 см и 20 см, а измерение равно меры .

В этих условиях мера , в см, равно

а) 25.
б) 40.
в) 55.
г) 70.

См. Ответ

Правильная альтернатива: в) 55.

Наблюдая за фигурой вопроса, мы видим, что сегмент DE, который мы хотим найти, совпадает с сегментом BD путем вычитания сегмента BE.

Итак, поскольку мы знаем, что отрезок BE равен 20 см, то нам нужно найти значение отрезка BD.

Обратите внимание, что проблема дает нам следующую информацию:

Итак, чтобы найти меру BD, нам нужно знать значение сегмента AC.

Поскольку точка E делит отрезок на две равные части (середина), то . Следовательно, первый шаг - найти меру сегмента CE.

Чтобы найти измерение CE, мы определили, что треугольник BCE является прямоугольником, что BC - гипотенуза, а BE и CE - катеты, как показано на изображении ниже:

Затем мы применим теорему Пифагора, чтобы найти размер ноги.

25² = 20²+ х²
625 = 400 + х²
Икс² = 625 - 400
Икс² = 225
х = √225
х = 15 см

Чтобы найти воротник, мы также могли заметить, что треугольник пифагорейский, то есть размеры его сторон - это кратные числа измерений треугольника 3, 4, 5.

Таким образом, когда мы умножаем 4 на 5, мы получаем значение воротника (20), а если мы умножаем 5 на 5, мы получаем гипотенузу (25). Следовательно, на другой ноге могло быть только 15 (5. 3).

Теперь, когда мы нашли значение EC, мы можем найти другие меры:

АС = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 см

Следовательно, мера равняется 55 см.

Смотри тоже: Пифагор

вопрос 6

(МСФО - 2017) Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 5√3 ܿ݉. Какова высота и площадь этого треугольника соответственно?

См. Ответ

Правильный вариант: д) 7,5 см и 75√3 / 4 см²

Сначала нарисуем равносторонний треугольник и нарисуем высоту, как показано на изображении ниже:

Обратите внимание, что высота делит основание на два сегмента одинаковой меры, так как треугольник равносторонний. Также обратите внимание, что треугольник ACD на рисунке является прямоугольным.

Таким образом, чтобы найти меру высоты, мы воспользуемся теоремой Пифагора:

Зная измерение высоты, мы можем найти площадь по формуле:

вопрос 7

(МСФО - 2016) На рисунке ниже значения x и y соответственно равны

См. Ответ

Правильный вариант: а) 4√2 и √97.

Чтобы найти значение x, применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику со сторонами, равными 4 см.

Икс² = 4² + 4²
Икс² = 16 + 16
х = √32
x = 4√2 см

Чтобы найти значение y, мы также будем использовать теорему Пифагора, теперь учитывая, что одна нога имеет размер 4 см, а другая 9 см (4 + 5 = 9).

у² = 4² + 9²
у² = 16 + 81
y = √97 см

Следовательно, значение x и y соответственно равно 4√2 и √97.

вопрос 8

(Ученик моряка - 2017) Посмотрите на рисунок ниже.

На рисунке выше изображен равнобедренный треугольник ACD, в котором отрезок AB составляет 3 см, неравномерная сторона AD составляет 10√2 см, а отрезки AC и CD перпендикулярны. Следовательно, правильно сказать, что сегмент BD измеряет:

а) √53 см
б) √97 см
в) √111 см
г) √149 см
д) √161 см

См. Ответ

Правильная альтернатива: d) √149 см

Учитывая информацию, представленную в задаче, строим рисунок ниже:

Согласно рисунку, мы обнаруживаем, что для определения значения x необходимо найти меру стороны, которую мы называем a.

Поскольку треугольник ACD является прямоугольником, мы применим теорему Пифагора, чтобы найти значение катета a.

Теперь, когда мы знаем значение a, мы можем найти значение x, рассматривая прямоугольный треугольник BCD.

Обратите внимание, что длина ноги BC равна размеру ноги минус 3 см, то есть 10 - 3 = 7 см. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:

Таким образом, правильно сказать, что длина сегмента BD составляет √149 см.

вопрос 9

(IFRJ - 2013) Спортивная площадка на территории кампуса Федерального института в Аррозале имеет прямоугольную форму, 100 м в длину и 50 м в ширину, представленная на этом рисунке прямоугольником ABCD.

Альберто и Бруно - двое студентов, которые занимаются спортом во дворе. Альберто идет от точки A к точке C по диагонали прямоугольника и возвращается к исходной точке по тому же пути. Бруно стартует из точки B, полностью огибает двор, идя по боковым линиям, и возвращается в исходную точку. Таким образом, учитывая √5 = 2,24, утверждается, что Бруно ходил больше, чем Альберто.

а) 38 мес.
б) 64 мес.
в) 76 мес.
г) 82 м.

См. Ответ

Правильный вариант: в) 76 м.

Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника, причем гипотенуза является диагональю, а стороны равны сторонам прямоугольника.

Итак, чтобы вычислить диагональную меру, применим теорему Пифагора:

Тогда как Альберто пошел и вернулся, поэтому он преодолел 224 метра.

Бруно преодолел расстояние, равное периметру прямоугольника, другими словами:

р = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 м

Таким образом, Бруно прошел на 76 м длиннее Альберто (300 - 112 = 76 м).

вопрос 10

(Enem - 2017) Для украшения детского праздничного стола повар использует шарообразную дыню диаметром 10 см, которая будет служить подставкой для нанизывания различных сладостей. Он снимет сферический колпак с дыни, как показано на рисунке, и, чтобы обеспечить устойчивость этой опоры, Из-за того, что дыня будет трудно катиться по столу, выступ будет вырезать так, чтобы радиус r круглого среза был волосатым. минус 3 см. С другой стороны, шеф-повар захочет иметь как можно большую площадь в районе, где будут фиксироваться сладости.

Для достижения всех своих целей начальник должен отрезать шляпку дыни на высоте h в сантиметрах, равной

См. Ответ

Правильная альтернатива: в) 1

Наблюдая за фигурой, представленной в вопросе, мы определили, что высоту h можно найти, уменьшив меру отрезка OA от меры радиуса сферы (R).

Радиус сферы (R) равен половине ее диаметра, который в данном случае равен 5 см (10: 2 = 5).

Итак, нам нужно найти значение сегмента OA. Для этого мы рассмотрим треугольник OAB, представленный на рисунке ниже, и применим теорему Пифагора.

5² = 3² + х²
Икс² = 25 - 9
х = √16
х = 4 см

Мы также могли бы найти значение x напрямую, отметив, что это треугольник Пифагора 3,4 и 5.

Таким образом, значение h будет равно:

ч = R - х
в = 5 - 4
h = 1 см

Поэтому шеф-повар должен отрезать шляпку дыни на высоте 1 см.

вопрос 11

(Enem - 2016 - 2-я заявка) Бочча - это вид спорта, в который играют на кортах, которые представляют собой ровную и ровную местность, ограниченную по периметру деревянными платформами. Цель этого вида спорта - бросать буль, которые представляют собой мячи из синтетического материала, чтобы поместите их как можно ближе к болиму, который представляет собой меньший шар, желательно из стали, предварительно запущен. На рисунке 1 показаны мяч для бочче и болим, которые играли на площадке. Предположим, что игрок бросил мяч радиусом 5 см, который опирался на боллин, радиусом 2 см, как показано на рисунке 2.

Считайте точку C центром мяча, а точку O - центром мяча. Известно, что A и B - это точки, в которых мяч для бочче и боллин, соответственно, касается земли корта, и что расстояние между A и B равно d. Каково соотношение между d и радиусом болима в этих условиях?

См. Ответ

Правильная альтернатива: д) √10

Чтобы вычислить значение расстояния d между точками A и B, давайте построим фигуру, соединяющую центры двух сфер, как показано ниже:

Обратите внимание, что синяя пунктирная фигура имеет форму трапеции. Разделим эту трапецию, как показано ниже:

Разделив трапецию, мы получим прямоугольник и прямоугольный треугольник. Гипотенуза треугольника равна сумме радиуса шара бочче с радиусом болима, то есть 5 + 2 = 7 см.

Измерение одной из ножек равно d, а измерение другой ножки равно измерению сегмента CA, который представляет собой радиус шара бочче за вычетом радиуса болима (5-2 = 3). .

Таким образом, мы можем найти меру d, применив теорему Пифагора к этому треугольнику, а именно:

7² = 3² - из²
d² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Следовательно, соотношение между расстоянием d и болимом будет выражаться следующим образом:.

вопрос 12

(Энем - 2014) Ежедневно дом потребляет 20 160 Втч. В этой резиденции 100 солнечных батарей. прямоугольная (устройства, способные преобразовывать солнечный свет в электрическую энергию) размером 6 см x 8 см. Каждая из этих ячеек производит в течение дня 24 Втч на сантиметр диагонали. Владелец этого дома хочет производить в день ровно столько же энергии, сколько потребляет его дом. Что должен сделать этот хозяин для достижения своей цели?

а) Удалите 16 ячеек.
б) Удалите 40 ячеек.
в) Добавьте 5 ячеек.
г) Добавьте 20 ячеек.
д) Добавьте 40 ячеек.

См. Ответ

Правильный вариант: а) Удалите 16 ячеек.

Во-первых, вам нужно выяснить, какова энергия, выделяемая каждой ячейкой. Для этого нам нужно найти размер диагонали прямоугольника.

Диагональ равна гипотенузе треугольника с катетами 8 и 6 см. Затем мы вычислим диагональ, применив теорему Пифагора.

Однако отметим, что рассматриваемый треугольник является пифагоровым и кратен треугольникам 3, 4 и 5.

Таким образом, измерение гипотенузы будет равно 10 см, так как стороны треугольника Пифагора 3,4 и 5 умножаются на 2.

Теперь, когда мы знаем диагональное измерение, мы можем вычислить энергию, производимую 100 ячейками, то есть:

Е = 24. 10. 100 = 24 000 Втч

Поскольку потребляемая энергия равна 20 160 Втч, придется уменьшить количество ячеек. Чтобы найти это число, мы сделаем:

24 000 - 20 160 = 3840 Вт · ч

Разделив это значение на энергию, производимую клеткой, мы находим число, которое следует уменьшить, а именно:

3840: 240 = 16 ячеек

Следовательно, действие владельца для достижения своей цели должно заключаться в удалении 16 ячеек.

Чтобы узнать больше, см. Также: Упражнения по тригонометрии