Комплексные числа числа, состоящие из действительной и мнимой части.
Они представляют собой набор всех упорядоченных пар (x, y), элементы которых принадлежат множеству действительных чисел (R).
Набор комплексных чисел обозначается значком Ç и определяется операциями:
- Равенство: (a, b) = (c, d) ↔ a = c и b = d
- Добавление: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
- Умножение: (а, б). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Воображаемая единица (i)
Обозначается буквой я, мнимая единица - это упорядоченная пара (0, 1). Скоро:
я. я = -1 ↔ я2 = –1
Таким образом, я является квадратным корнем из –1.
Алгебраическая форма Z
Алгебраическая форма Z используется для представления комплексного числа по формуле:
Z = x + yi
Где:
- Икс - действительное число, обозначенное x = Re (Z), которое называется действительная часть z.
- у действительное число, обозначенное y = Im (Z), называемое мнимая часть Z.
Сопряжение комплексных чисел
Сопряжение комплексного числа обозначается как z, определяется г = а - би. Таким образом меняется знак его мнимой части.
Итак, если z = a + bi, то z = a - bi
Когда мы умножаем комплексное число на его сопряжение, результатом будет действительное число.
Равенство комплексных чисел
Будучи двумя комплексными числами Z1 = (a, b) и Z2 = (c, d), они равны, когда a = c и b = d. Это потому, что они имеют идентичную реальную и мнимую части. Таким образом:
а + би = с + ди Когда а = с и b = d
Операции с комплексными числами
С комплексными числами можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления. Ознакомьтесь с определениями и примерами ниже:
Добавление
Z1 + Z2 = (а + с, Ь + г)
В алгебраической форме имеем:
(а + би) + (с + ди) = (а + с) + я (Ь + г)
Пример:
(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2–4) + я (3 + 5)
–2 + 8i
Вычитание
Z1 - Z2 = (а - с, б - г)
В алгебраической форме имеем:
(а + би) - (с + ди) = (а - с) + я (б - г)
Пример:
(4 - 5i) - (2 + i)
(4–2) + i (–5–1)
2 - 6i
Умножение
(а, б). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
В алгебраической форме мы используем свойство дистрибутивности:
(а + би). (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (я2 = –1)
(а + би). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(а + би). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)
Пример:
(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i2
8–14i + 15
23 - 14i
Разделение
Z1/ Z2 = Z3
Z1 = Z2. Z3
В приведенном выше равенстве, если Z3 = x + yi, имеем:
Z1 = Z2. Z3
а + би = (с + ди). (x + yi)
а + би = (cx - dy) + i (cy + dx)
По системе неизвестных x и y имеем:
cx - dy = a
dx + cy = b
Скоро,
х = ac + bd / c2 + d2
y = bc - ad / c2 + d2
Пример:
2 - 5i / i
2 - 5i /. (- я) / (- я)
-2i + 5i2/–i2
5 - 2i
Упражнения для вступительных экзаменов с обратной связью
1. (UF-TO) Рассмотрим я мнимая единица комплексных чисел. Значение выражения (i + 1)8 é:
а) 32i
б) 32
в) 16
г) 16i
Альтернатива c: 16
2. (UEL-PR) Комплексное число z, которое проверяет уравнение iz - 2w (1 + i) = 0 (ш обозначает сопряжение z):
а) z = 1 + i
б) z = (1/3) - i
в) z = (1 - i) / 3
г) z = 1 + (i / 3)
д) z = 1 - я
Альтернатива e: z = 1 - i
3. (Vunesp-SP) Рассмотрим комплексное число z = cos π / 6 + i sin π / 6. значение z3 + Z6 + Z12 é:
там
б) ½ + √3 / 2i
в) я - 2
г) я
д) 2i
Альтернатива d: i
Ознакомьтесь с другими вопросами с комментариями к разрешению в Упражнения с комплексными числами.
Видео уроки
Чтобы расширить свои знания о комплексных числах, посмотрите видео "Введение в комплексные числа"
История комплексных чисел
Открытие комплексных чисел было сделано в 16 веке благодаря вкладу математика Джироламо Кардано (1501–1576).
Однако только в 18 веке эти исследования были формализованы математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855).
Это был большой шаг вперед в математике, поскольку отрицательное число имеет квадратный корень, что до открытия комплексных чисел считалось невозможным.
Чтобы узнать больше, см. Также
- Числовые наборы
- Полиномы
- иррациональные числа
- Уравнение 1-й степени
- Потенцирование и излучение
