Область плоских фигур: решенные и прокомментированные упражнения

Площадь плоской фигуры представляет собой степень протяженности фигуры в плоскости. В качестве плоских фигур мы можем упомянуть треугольник, прямоугольник, ромб, трапецию, круг и другие.

Используйте приведенные ниже вопросы, чтобы проверить свои знания по этому важному предмету геометрии.

Решенные вопросы конкурса

Вопрос 1

(Cefet / MG - 2016) Площадь участка должна быть разделена на четыре равные части, также квадрат и, в одном из них необходимо поддерживать естественный лесной заповедник (заштрихованный участок), как показано на рисунке а. следить.

Зная, что B - это середина сегмента AE, а C - середина сегмента EF, заштрихованная область, в м², дай мне

а) 625,0.
б) 925.5.
в) 1562,5.
г) 2500,0.

См. Ответ

Правильная альтернатива: в) 1562.5.

Наблюдая за рисунком, мы замечаем, что заштрихованная область соответствует площади квадрата со стороной 50 м за вычетом площади треугольников BEC и CFD.

Размер стороны BE треугольника BEC равен 25 м, так как точка B делит сторону на два равных отрезка (середина отрезка).

То же самое происходит со сторонами EC и CF, то есть их размеры также равны 25 м, поскольку точка C является серединой отрезка EF.

Таким образом, мы можем вычислить площадь треугольников BEC и CFD. Принимая во внимание две стороны, известные как основание, другая сторона будет равна высоте, поскольку треугольники являются прямоугольниками.

Рассчитав площадь квадрата и треугольников BEC и CFD, мы имеем:

Следовательно, заштрихованная площадь в м², меры 1562,5.

вопрос 2

(Cefet / RJ - 2017) Квадрат со стороной x и равносторонний треугольник со стороной y имеют площади одинаковой меры. Таким образом, можно сказать, что отношение x / y равно:

См. Ответ

Правильная альтернатива: .

Информация, приведенная в задаче, состоит в том, что области совпадают, то есть:

Площадь треугольника определяется путем умножения измерения основания на измерение высоты и деления результата на 2. Поскольку треугольник равносторонний, а сторона равна y, его высота определяется как:

Следовательно, можно сказать, что отношение x / y равно .

вопрос 3

(IFSP - 2016) Общественная площадь в форме круга имеет радиус 18 метров. В свете вышеизложенного отметьте альтернативу, которая представляет ваш район.

а) 1017,36 м²
б) 1254,98 м²
в) 1589,77 м²
г) 1698,44 м²
д) 1710,34 м²

См. Ответ

Правильный вариант: а) 1017, 36 м².

Чтобы найти площадь квадрата, мы должны использовать формулу площади круга:

А = π.R²

Подставляя значение радиуса и учитывая π = 3,14, находим:

А = 3,14. 18² = 3,14. 324 = 1017,36 м²

Таким образом, площадь квадрата составляет 1017,36 м.².

вопрос 4

(МСФО - 2016) Прямоугольник имеет размеры x и y, которые выражаются уравнениями x² = 12 и (y - 1)² = 3.

Периметр и площадь этого прямоугольника соответственно

а) 6√3 + 2 и 2 + 6√3
б) 6√3 и 1 + 2√3
в) 6√3 + 2 и 12
г) 6 и 2√3
д) 6√3 + 2 и 2√3 + 6

См. Ответ

Правильная альтернатива: e) 6√3 + 2 и 2√3 + 6.

Сначала решим уравнения, чтобы найти значения x и y:

Икс²= 12 ⇒ x = √12 = √4,3 = 2√3
(г - 1) ²= 3 ⇒ y = √3 + 1

Периметр прямоугольника будет равен сумме всех сторон:

P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

Чтобы найти площадь, просто умножьте x.y:

А = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6

Следовательно, периметр и площадь прямоугольника равны 6√3 + 2 и 2√3 + 6 соответственно.

вопрос 5

(Ученик моряка - 2016) Проанализируйте следующий рисунок:

Зная, что EP - это радиус центрального полукруга в E, как показано на рисунке выше, определите значение самой темной области и отметьте правильный вариант. Данные: число π = 3

а) 10 см²
б) 12 см²
в) 18 см²
г) 10 см²
д) 24 см²

См. Ответ

Правильная альтернатива: б) 12 см.².

Самая темная область получается путем добавления площади полуокружности к площади треугольника ABD. Начнем с вычисления площади треугольника, для этого обратите внимание, что треугольник является прямоугольником.

Назовем сторону AD у x и вычислим ее меру, используя теорему Пифагора, как показано ниже:

5²= х² + 3²
Икс² = 25 - 9
х = √16
х = 4

Зная размер на стороне AD, мы можем вычислить площадь треугольника:

Нам еще нужно рассчитать площадь полуокружности. Обратите внимание, что его радиус будет равен половине измерения на стороне AD, поэтому r = 2 см. Площадь полуокружности будет равна:

Самую темную область можно найти, выполнив: A_Т = 6 + 6 = 12 см²

Следовательно, значение самого темного участка составляет 12 см.².

вопрос 6

(Enem - 2016) Мужчина, отец двоих детей, хочет купить два земельных участка одинаковой площади, по одному на каждого ребенка. Одна из посещенных земель уже разграничена и, хотя она не имеет общепринятого формата (как показано на рисунке B), понравилась старшему сыну и, следовательно, была куплена. У младшего сына есть архитектурный проект дома, который он хочет построить, но для этого ему нужно местности прямоугольной формы (как показано на рисунке А), длина которой на 7 м больше, чем ширина.

Чтобы удовлетворить самого младшего сына, этому джентльмену нужно найти прямоугольный участок земли, размеры которого в метрах по длине и ширине равны

а) 7,5 и 14,5
б) 9,0 и 16,0
в) 9,3 и 16,3
г) 10,0 и 17,0
д) 13,5 и 20,5

См. Ответ

Правильная альтернатива: б) 9.0 и 16.0.

Поскольку площадь рисунка A равна площади рисунка B, давайте сначала вычислим эту площадь. Для этого давайте разделим рисунок B, как показано на рисунке ниже:

Обратите внимание, что при разделении фигуры у нас есть два прямоугольных треугольника. Следовательно, площадь фигуры B будет равна сумме площадей этих треугольников. Рассчитывая эти площади, мы имеем:

Поскольку фигура A представляет собой прямоугольник, его площадь определяется следующим образом:

THE_THE = х. (х + 7) = х² + 7x

Приравнивая площадь рисунка A к найденному значению площади рисунка B, мы находим:

Икс² + 7x = 144
Икс² + 7x - 144 = 0

Давайте решим уравнение 2-й степени, используя формулу Бхаскары:

Поскольку мера не может быть отрицательной, давайте просто рассмотрим значение, равное 9. Следовательно, ширина участка на рисунке А будет равна 9 м, а длина - 16 м (9 + 7).

Следовательно, размеры длины и ширины должны быть равны 9,0 и 16,0 соответственно.

вопрос 7

(Enem - 2015) У сотовой компании есть две антенны, которые будут заменены на новую, более мощную. Зоны покрытия антенн, которые будут заменены, представляют собой окружности с радиусом 2 км, окружности которых касаются точки O, как показано на рисунке.

Точка O указывает положение новой антенны, а ее зона покрытия будет представлять собой круг, окружность которого будет касаться внешних окружностей меньших зон покрытия. С установкой новой антенны измерение зоны покрытия в квадратных километрах было расширено на

а) 8 π
б) 12 π
в) 16 π
г) 32 π
д) 64 π

См. Ответ

Правильная альтернатива: а) 8 π.

Увеличение при измерении зоны покрытия будет найдено путем уменьшения площадей меньших кружков большего круга (относится к новой антенне).

Поскольку окружность новой зоны покрытия внешне касается меньших окружностей, ее радиус будет равен 4 км, как показано на рисунке ниже:

Рассчитаем площади A₁ и₂ меньших кругов и площади A₃ из большего круга:

THE₁ = А₂ = 2². π = 4 π
THE₃ = 4².π = 16 π

Измерение увеличенной площади будет найдено, выполнив:

A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π

Таким образом, с установкой новой антенны площадь покрытия в квадратных километрах была увеличена на 8 π.

вопрос 8

(Enem - 2015) Схема I показывает конфигурацию баскетбольной площадки. Серые трапеции, называемые бутылями, соответствуют закрытым зонам.

Стремясь соответствовать руководящим принципам Центрального комитета Международной федерации баскетбола (Fiba) в 2010 году, которые унифицировали маркировку Из различных сплавов предусматривалась модификация люков кортов, которые стали прямоугольными, как показано на схеме. II.

После проведения запланированных изменений произошло изменение площади, занимаемой каждой бутылькой, что соответствует (а)

а) рост 5800 см².
б) 75 400 см прибавка².
в) рост 214 600 см².
г) уменьшение 63 800 см².
д) уменьшение 272600 см².

См. Ответ

Правильный вариант: а) увеличение на 5800 см².

Чтобы узнать, как изменилась занимаемая площадь, давайте посчитаем площадь до и после изменения.

При расчете по схеме I воспользуемся формулой площади трапеции. На диаграмме II мы будем использовать формулу для площади прямоугольника.

Тогда изменение площади будет:

А = А_II - А_я
A = 284 200 - 278 400 = 5800 см²

Таким образом, после проведения запланированных модификаций произошло изменение площади, занимаемой каждой бутылью, что соответствует увеличению на 5800 см².

Предлагаемые упражнения (с разрешением)

вопрос 9

Ана решила построить в своем доме прямоугольный бассейн размером 8 м основание на 5 м высотой. Все вокруг, в форме трапеции, было залито травой.

Зная, что высота трапеции составляет 11 м, а ее основания - 20 м и 14 м, какова площадь той части, которая была залита травой?

а) 294 м²
б) 153 м²
в) 147 м²
г) 216 м²

См. Ответ

Правильный вариант: в) 147 м².

Поскольку прямоугольник, представляющий бассейн, вставлен в большую фигуру, трапецию, давайте начнем с вычисления площади внешней фигуры.

Площадь трапеции рассчитывается по формуле:

Где,

B - мера наибольшего основания;
b - мера наименьшего основания;
h - высота.

Подставляя данные выписки в формулу, получаем:

Теперь давайте посчитаем площадь прямоугольника. Для этого нам просто нужно умножить основание на высоту.

Чтобы найти область, покрытую травой, нам нужно вычесть пространство, занимаемое бассейном, из области трапеции.

Таким образом, площадь, засыпанная травой, составила 147 м.².

Смотри тоже: Площадь трапеции

вопрос 10

Чтобы отремонтировать крышу своего склада, Карлос решил купить колониальную черепицу. Для этого типа кровли требуется 20 штук на каждый квадратный метр кровли.

Если крыша помещения образована двумя прямоугольными пластинами, как на рисунке выше, сколько черепицы нужно купить Карлосу?

а) 12000 плиток
б) 16000 плиток
в) 18000 плиток
г) 9600 плиток

См. Ответ

Правильная альтернатива: б) 16000 плиток.

Крыша склада сделана из двух прямоугольных пластин. Следовательно, мы должны вычислить площадь прямоугольника и умножить на 2.

Таким образом, общая площадь кровли составляет 800 м.². Если на каждый квадратный метр нужно 20 плиток, то, используя простое правило трех, мы вычисляем, сколько плиток заполняет крышу каждого склада.

Следовательно, необходимо будет купить 16 тысяч плиток.

Смотри тоже: Площадь прямоугольника

вопрос 11

Марсия хотела бы, чтобы две одинаковые деревянные вазы украшали вход в ее дом. Поскольку она могла купить только одну из своих любимых, она решила нанять краснодеревщика, чтобы он построил еще одну вазу с такими же размерами. Ваза должна иметь четыре стороны в форме равнобедренной трапеции, а основание - квадрат.

Без учета толщины древесины, сколько квадратных метров древесины потребуется для воспроизведения изделия?

а) 0,2131 м²
б) 0,1311 м²
в) 0,2113 м²
г) 0,3121 м²

См. Ответ

Правильный вариант: d) 0,3121 м².

Равнобедренная трапеция имеет равные стороны и разный размер основания. На изображении у нас есть следующие размеры трапеции с каждой стороны сосуда:

Меньшая база (б): 19 см;
Основание большего размера (B): 27 см;
Высота (h): 30 см.

Имея на руках значения, рассчитываем площадь трапеции:

Поскольку сосуд состоит из четырех трапеций, нам нужно умножить найденную площадь на четыре.

Теперь нам нужно рассчитать основание вазы, которое образовано квадратом 19 см.

Добавляя рассчитанные площади, мы получаем общую площадь древесины, которая будет использоваться для строительства.

Однако площадь нужно указывать в квадратных метрах.

Следовательно, без учета толщины древесины понадобилось 0,3121 м.² материала для изготовления вазы.

Смотри тоже: Площадь Площадь

вопрос 12

Чтобы облегчить подсчет количества людей, участвующих в массовых мероприятиях, обычно считается, что один квадратный метр занимают четыре человека.

Чтобы отметить годовщину города, городские власти наняли оркестр для выступления на центральной площади площадью 4000 м².². Зная, что площадь была забита, сколько примерно человек пришло на мероприятие?

а) 16 тысяч человек.
б) 32 тысячи человек.
в) 12 тысяч человек.
г) 40 тысяч человек.

См. Ответ

Правильная альтернатива: а) 16 тысяч человек.

У квадрата четыре равные стороны, а его площадь рассчитывается по формуле: A = L x L.

если в 1 м² в нем проживают четыре человека, поэтому общая площадь площади, умноженная на 4, дает нам оценку людей, которые посетили мероприятие.

Таким образом, в акции, проводимой мэрией, приняли участие 16 тысяч человек.

Чтобы узнать больше, см. Также:

• Области плоской фигуры
• Геометрические фигуры
• Теорема Пифагора - Упражнения