PA и PG: резюме, формулы и упражнения

THE арифметическая прогрессия - PA представляет собой последовательность значений, которая имеет постоянную разницу между последовательными числами.

THE геометрическая прогрессия - PG представляет числа с одинаковым частным при делении двух последовательных членов.

В то время как в арифметической прогрессии члены получаются путем сложения разницы, общей для предшествующей, члены геометрические прогрессии находятся путем умножения отношения на последнее число в последовательности, таким образом, получая член преемник.

Ниже приводится краткое изложение двух типов прогрессий.

Арифметическая прогрессия (AP)

Арифметическая прогрессия - это последовательность, состоящая из членов, которые отличаются друг от друга на постоянное значение, называемое отношением, вычисляемое по формуле:

Где,

р это причина БП;
В₂ это второй член;
В₁ это первый член.

Следовательно, члены арифметической прогрессии можно записать следующим образом:

Обратите внимание, что в PA нет термины формула общего члена (_нет) последовательности:

В_нет = the₁ + (п - 1) г

Некоторые частные случаи: 3-членная AP представлена ​​(x - r, x, x + r), а 5-членная AP имеет свои компоненты, представленные (x - 2r, x - r, x, x + r, х + 2р).

Виды ПА

По величине отношения арифметические прогрессии делятся на 3 типа:

1. Постоянный: когда отношение равно нулю и члены BP равны.

Пример: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), где r = 0

2. Рост: когда отношение больше нуля и член из второго больше предыдущего;

Пример: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), где r = 2

3. нисходящий: когда отношение меньше нуля и член из второго меньше предыдущего.

Пример: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), где r = - 2

Арифметические прогрессии все еще можно разделить на конечный, когда у них есть определенное количество терминов, и бесконечный, то есть с бесконечным числом членов.

Сумма сроков ОО

Сумма членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

Где, нет - количество членов в последовательности, В₁ это первый член и В_нет это n-й член. Формула полезна для решения вопросов, где указан первый и последний член.

Когда проблема имеет первый член и причину АД, вы можете использовать формулу:

Эти две формулы используются для сложения членов конечного БП.

Средний срок ПА

Чтобы определить средний или центральный член БП с нечетным числом членов, мы вычисляем среднее арифметическое с первым и последним термином (₁ и_нет):

Средний член между тремя последовательными числами PA соответствует среднему арифметическому предшествующему и последующему.

Решенный пример

Учитывая PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14), определяют соотношение, средний член и сумму членов.

1. PA причина

2. Средняя степень

3. сумма сроков

Узнать больше о арифметическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия (PG)

Геометрическая прогрессия формируется, когда последовательность имеет множитель, полученный в результате деления двух последовательных членов, называемый общим соотношением, которое рассчитывается по формуле:

Где,

какие причина PG;
В₂ это второй член;
В₁ это первый член.

Геометрическая прогрессия нет термины можно представить следующим образом:

Существование В₁ первый член, общий член PG рассчитывается по формуле В₁.q^(нет-1).

Типы PG

По значению отношения (q) мы можем разделить геометрические прогрессии на 4 типа:

1. Рост: отношение всегда положительно (q> 0) и члены увеличиваются;

Пример: PG: (3, 9, 27, 81, ...), где q = 3.

2. нисходящий: отношение всегда положительное (q> 0), ненулевое (0), и члены убывают;

Пример: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), где q = 3

3. колеблющийся: причина отрицательная (q

Пример: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96,…), где q = - 2

4. Постоянный: соотношение всегда равно 1, и члены имеют одинаковое значение.

Пример: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), где q = 1

Сумма сроков PG

Сумма членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

Существование В₁ первый срок, какие общая причина и нет количество сроков.

Если коэффициент PG меньше 1, то мы будем использовать следующую формулу для определения суммы членов.

Эти формулы используются для конечного PG. Если запрошенная сумма является бесконечной PG, используется формула:

Средний срок PG

Чтобы определить средний или центральный член PG с нечетным числом членов, мы вычисляем среднее геометрическое с первым и последним членом (a₁ и_нет):

Решенный пример

По заданным PG (1, 3, 9, 27 и 81) определяют соотношение, средний член и сумму членов.

1. Причина PG

2. Средняя степень

3. сумма сроков

Узнать больше о геометрическая прогрессия.

Резюме формул PA и PG

арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Причина
общий термин
Средняя степень
конечная сумма
бесконечная сумма

Узнать больше о числовые последовательности.

Упражнения на ПА и ПГ

Вопрос 1

Каков 16-й член последовательности, начинающейся с цифры 3 и имеющей отношение долей долей, равное 4?

а) 36
б) 52
в) 44
г) 63

См. Ответ

Правильная альтернатива: г) 63.

Поскольку отношение PA постоянно, мы можем найти второй член в последовательности, прибавив отношение к первому числу.

В₂ = the₁ + г

В₂ = 3 + 4

В₂ = 7

Следовательно, можно сказать, что эта последовательность образована (3, 7, 11, 15, 19, 23,…)

16-й член можно вычислить по формуле общего члена.

В_нет = the₁ + (п - 1). р

В₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

В₁₆ = 3 + 15.4

В₁₆ = 3 + 60

В₁₆ = 63

Следовательно, ответ на вопрос - 63.

вопрос 2

Каково отношение шестичленного AP, сумма первых трех чисел в последовательности которого равна 12, а последних двух равна –34?

а) 7
б) - 6
в) - 5
г) 5

См. Ответ

Правильный вариант: б) - 6.

Общая формула для членов арифметической прогрессии:₁, (а₁ + г), (а₁ + 2r),..., {a₁ + (п-1) г}. Следовательно, сумму первых трех слагаемых можно записать следующим образом:

В₁ + (₁ + г) + (а₁ + 2r) = 12
3-й₁ + 3р = 12
3-й₁ = 12 - 3р
В₁ = (12 - 3 ряд) / 3
В₁ = 4 - г

Сумма двух последних членов такова:

(В₁ + 4r) + (а₁ + 5р) = - 34
2-й₁ + 9р = - 34

Теперь заменим₁ по 4 - р.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2р + 9р = - 34
7р = - 34 - 8
7р = - 42
г = - 42/7
г = - 6

Следовательно, коэффициент PG составляет - 6.

вопрос 3

Если третий член GP - 28, а четвертый член - 56, каковы первые 5 членов этой геометрической прогрессии?

а) 6, 12, 28, 56, 104
б) 7, 18, 28, 56, 92
в) 5, 9, 28, 56, 119
г) 7, 14, 28, 56, 112

См. Ответ

Правильная альтернатива: г) 7, 14, 28, 56, 112

Сначала мы должны рассчитать коэффициент этой PG. Для этого воспользуемся формулой:

В₄ = the₃. какие
56 = 28. какие
56/28 = q
q = 2

Теперь посчитаем первые 5 членов. Начнем с₁ используя формулу общего члена.

В_нет = the₁. какие^(п-1)
В₃ = the₁ . какие^(3-1)
28 =₁. 2²
В₁ = 28/ 4 = 7

Остальные члены можно рассчитать, умножив предшествующий член на коэффициент.

В₂ = the₁.q
В₂ = 7. 2
В₂ = 14

В₅ = the₄. какие
В₅ = 56. 2
В₅ = 112

Таким образом, первые 5 терминов PG:

1 семестр: 7
2 семестр: 14
3 семестр: 28
4 семестр: 56
5 семестр: 112

См. Также другие упражнения, чтобы продолжать практиковаться:

• Упражнения по арифметической прогрессии
• Упражнения на геометрическую прогрессию