Один уравнение второй степени это все уравнение в виде топор2 + bx + c = 0, с действительными числами a, b и c и a ≠ 0. Чтобы решить уравнение этого типа, вы можете использовать разные методы.
Используйте прокомментированные решения приведенных ниже упражнений, чтобы развеять все свои сомнения. Также обязательно проверьте свои знания с помощью решенных вопросов конкурса.
Комментируемые упражнения
Упражнение 1
Возраст моей мамы, умноженный на мой возраст, равен 525. Если при рождении моей матери было 20 лет, сколько мне лет?
Решение
Учитывая мой возраст равный Икс, тогда мы можем считать, что возраст моей матери равен х + 20. Тогда как мы узнаем ценность продукта нашего времени:
Икс. (х + 20) = 525
Применяя к распределительным свойствам умножения:
Икс2 + 20 х - 525 = 0
Затем мы приходим к полному уравнению 2-й степени с a = 1, b = 20 и c = - 525.
Чтобы вычислить корни уравнения, то есть значения x, при которых уравнение равно нулю, давайте воспользуемся формулой Бхаскары.
Сначала мы должны вычислить значение ∆:
Для вычисления корней используем:
Подставляя значения в формулу выше, мы найдем корни уравнения, например:
Поскольку мой возраст не может быть отрицательным, мы презираем значение -35. Итак, результат 15 лет.
Упражнение 2.
Квадрат, представленный на рисунке ниже, имеет прямоугольную форму и его площадь равна 1350 м.2. Зная, что его ширина соответствует 3/2 его высоты, определите размеры квадрата.
Решение
Учитывая, что его высота равна Икс, тогда ширина будет равна 3 / 2х. Площадь прямоугольника рассчитывается путем умножения его основания на значение высоты. В этом случае мы имеем:
Мы приходим к неполному уравнению 2-й степени с a = 3/2, b = 0 и c = - 1350, мы можем вычислить этот тип уравнения, выделив x и вычислив значение квадратного корня.
Поскольку значение x представляет собой меру высоты, мы не будем принимать во внимание - 30. Таким образом, высота прямоугольника равна 30 м. Чтобы вычислить ширину, умножим это значение на 3/2:
Следовательно, ширина квадрата равна 45 кв.м. а его высота равна 30 м.
Упражнение 3.
Таким образом, x = 1 является корнем уравнения 2ax2 + (2-й2 - а - 4) х - (2 + а2) = 0, значения a должны быть:
а) 3 и 2
б) - 1 и 1
в) 2 и - 3
г) 0 и 2
д) - 3 и - 2
Решение
Чтобы найти значение a, давайте сначала заменим x на 1. Таким образом, уравнение будет выглядеть так:
2.a.12 + (2-й2 - к - 4). 1-2 - а2 = 0
2-й + 2-й2 - к - 4 - 2 - к2 = 0
В2 + к - 6 = 0
Теперь мы должны вычислить корень полного уравнения 2-й степени, для этого мы воспользуемся формулой Бхаскары.
Следовательно, правильная альтернатива - это буква c.
Вопросы конкурса
1) Epcar - 2017 г.
Рассмотрим в уравнение (м+2) х2 - 2мх + (м - 1) = 0 по переменной x, где м является действительным числом, отличным от - 2.
Просмотрите приведенные ниже утверждения и оцените их как V (ИСТИНА) или F (ЛОЖЬ).
() Для всех m> 2 уравнение имеет пустое множество решений.
() У уравнения есть два действительных значения m, которые допускают равные корни.
() В уравнении, если ∆> 0, то m может принимать только положительные значения.
Правильная последовательность
а) V - V - V
б) F - V - F
в) F - F - V
г) V - F - F
Давайте посмотрим на каждое из утверждений:
Для всех m> 2 уравнение имеет пустое множество решений
Поскольку уравнение второй степени по, оно не будет иметь решения, когда дельта меньше нуля. Рассчитав это значение, мы имеем:
Итак, первое утверждение верно.
У уравнения есть два действительных значения m, которые могут иметь одинаковые корни.
Уравнение будет иметь равные действительные корни, когда Δ = 0, то есть:
- 4м + 8 = 0
м = 2
Следовательно, утверждение неверно, поскольку существует только одно значение m, при котором корни действительны и равны.
В уравнении, если ∆> 0, то m может принимать только положительные значения.
При Δ> 0 имеем:
Поскольку в наборе бесконечных действительных чисел есть отрицательные числа меньше 2, утверждение также неверно.
Альтернатива d: V-F-F
2) Coltec - UFMG - 2017
Лаура должна решить уравнение 2-й степени в «доме», но понимает, что при копировании с доски в тетрадь она забыла скопировать коэффициент при x. Чтобы решить уравнение, он записал его следующим образом: 4x2 + топор + 9 = 0. Поскольку она знала, что уравнение имеет только одно решение, а это положительное, она смогла определить значение a, которое равно
а) - 13
б) - 12
в) 12
г) 13
Когда уравнение 2-й степени имеет единственное решение, дельта из формулы Бхаскары равна нулю. Итак, чтобы найти значение В, просто вычислите дельту, приравняв ее значение нулю.
Таким образом, если a = 12 или a = - 12, уравнение будет иметь только один корень. Однако нам все еще нужно проверить, какое из значений В результатом будет положительный корень.
Для этого найдем корень для значений Файл.
Таким образом, при a = -12 уравнение будет иметь только один положительный корень.
Альтернатива b: -12
3) Энем - 2016 г.
Туннель необходимо закрыть бетонным покрытием. Поперечное сечение тоннеля и бетонного покрытия имеют очертания параболической арки и одинаковые размеры. Чтобы определить стоимость работ, инженер должен рассчитать площадь под рассматриваемой параболической дугой. Используя горизонтальную ось на уровне земли и ось симметрии параболы в качестве вертикальной оси, он получил следующее уравнение для параболы:
у = 9 - х2, где x и y измеряются в метрах.
Известно, что площадь под такой параболой равна 2/3 площади прямоугольника, размеры которого равны соответственно основанию и высоте входа в туннель.
Какова площадь передней части бетонного покрытия в квадратных метрах?
а) 18
б) 20
в) 36
г) 45
д) 54
Чтобы решить эту проблему, нам нужно найти размеры основания и высоты входа в туннель, как проблема говорит нам, что площадь передней части равна 2/3 площади прямоугольника с этими размерами.
Эти значения будут найдены из приведенного уравнения 2-й степени. Парабола этого уравнения имеет вогнутость вниз, поскольку коэффициент В отрицательный. Ниже приводится план этой притчи.
Из графика видно, что размер основания туннеля будет найден путем вычисления корней уравнения. Уже его высота будет равна размеру вершины.
Чтобы вычислить корни, заметим, что уравнение 9 - x2 является неполным, поэтому мы можем найти его корни, приравняв уравнение нулю и выделив x:
Следовательно, размер основания тоннеля будет равен 6 м, то есть расстоянию между двумя корнями (-3 и 3).
Глядя на график, мы видим, что точка вершины соответствует значению на оси y, при котором x равен нулю, поэтому мы имеем:
Теперь, когда мы знаем размеры основания и высоты туннеля, мы можем вычислить его площадь:
Альтернатива c: 36
4) Cefet - RJ - 2014 г.
Для какого значения «a» уравнение (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 имеет два корня и равно?
к 1
б) 0
в) 1
г) 2
Чтобы уравнение 2-й степени имело два равных корня, необходимо, чтобы Δ = 0, то есть b2-4ac = 0. Перед вычислением дельты нам нужно записать уравнение в виде ax2 + bx + c = 0.
Мы можем начать с применения свойства распределенности. Однако отметим, что (x - 2) повторяется в обоих терминах, поэтому давайте представим это в качестве доказательства:
(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(х - 2) (топор -2) = 0
Теперь, распространяя продукт, мы имеем:
топор2 - 2x - 2ax + 4 = 0
Вычисляя Δ и приравнивая к нулю, находим:
Итак, когда a = 1, уравнение будет иметь два равных корня.
Альтернатива c: 1
Чтобы узнать больше, см. Также:
- Уравнение второй степени
- Уравнение первой степени
- Квадратичная функция
- Квадратичная функция - упражнения
- Линейная функция
- Связанные функциональные упражнения
