Многочлены - это алгебраические выражения, состоящие из чисел (коэффициентов) и букв (буквальные части). Буквы полинома представляют неизвестные значения выражения.
Примеры
а) 3ab + 5
б) х3 + 4xy - 2x2у3
в) 25x2 - 9лет2
Мономиум, биномиальный и трехчлен
Многочлены состоят из членов. Единственная операция между элементами члена - это умножение.
Когда многочлен имеет только один член, он называется одночлен.
Примеры
а) 3х
б) 5bc
в) х2у3z4
звонки биномы - это многочлены, которые имеют только два одночлена (два члена), разделенных операцией сложения или вычитания.
Примеры
а) к2 - В2
б) 3x + y
в) 5ab + 3cd2
уже трехчлены - многочлены, состоящие из трех одночленов (трех членов), разделенных операциями сложения или вычитания.
Примерs
а) х2 + 3x + 7
б) 3аб - 4кси - 10л
см3п + м2 + п4
Степень полиномов
Степень полинома определяется показателями буквальной части.
Чтобы найти степень многочлена, мы должны сложить показатели букв, составляющих каждый член. Самая большая сумма будет степенью многочлена.
Примеры
а) 2х3 + y
Показатель первого члена равен 3, а второго члена - 1. Поскольку наибольшее значение равно 3, степень многочлена равна 3.
б) 4х2y + 8x3у3 - ху4
Добавим экспоненты каждого члена:
4x2у => 2 + 1 = 3
8x3у3 => 3 + 3 = 6
ху4 => 1 + 4 = 5
Поскольку наибольшая сумма равна 6, степень многочлена равна 6.
Примечание: нулевой многочлен - это тот, у которого все коэффициенты равны нулю. Когда это происходит, степень полинома не определена.
Операции с многочленами
См. Ниже примеры операций между многочленами:
Добавление полиномов
Мы проделываем эту операцию, добавляя коэффициенты одинаковых терминов (одинаковые буквальные части).
(-7x3 + 5x2у - ху + 4у) + (-2x2y + 8xy - 7y)
- 7x3 + 5x2у - 2x2y - ху + 8xy + 4y - 7y
- 7x3 + 3x2у + 7xy - 3y
Полиномиальное вычитание
Знак минус перед круглыми скобками меняет местами знаки внутри скобок. После удаления скобок мы должны добавить аналогичные термины.
(4x2 - 5xk + 6k) - (3x - 8k)
4x2 - 5xk + 6k - 3xk + 8k
4x2 - 8xk + 14k
Умножение многочленов
В умножении мы должны умножать член за членом. При умножении одинаковых букв показатели повторяются и складываются.
(3x2 - 5х + 8). (-2x + 1)
-6x3 + 3x2 + 10x2 - 5х - 16х + 8
-6x3 + 13x2 - 21x +8
Деление многочленов
Примечание: В полиномиальном делении мы используем ключевой метод. Сначала мы выполняем деление между числовыми коэффициентами, а затем деление степеней одного основания. Для этого следует оставить основание и вычесть экспоненты.
Полиномиальный факторинг
Для проведения факторизация многочленов имеют место следующие случаи:
Общий фактор в доказательствах
ах + Ьх = х (а + Ь)
Пример
4х + 20 = 4 (х + 5)
группировка
ax + bx + ay + by = x. (а + б) + у. (а + б) = (х + у). (а + б)
Пример
8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b). (х + у)
Трехчлен совершенного квадрата (дополнение)
В2 + 2ab + b2 = (а + б)2
Пример
Икс2 + 6х + 9 = (х + 3)2
Трехчлен совершенного квадрата (разность)
В2 - 2ab + b2 = (а - б)2
Пример
Икс2 - 2x + 1 = (x - 1)2
Разница двух квадратов
(а + б). (а - б) = а2 - В2
Пример
Икс2 - 25 = (х + 5). (х - 5)
Perfect Cube (Дополнение)
В3 + 3-й2b + 3ab2 + b3 = (а + б)3
Пример
Икс3 + 6x2 + 12x + 8 = х3 + 3. Икс2. 2 + 3. Икс. 22 + 23 = (х + 2)3
Идеальный куб (разница)
В3 - 3-й2b + 3ab2 - В3 = (а - б)3
Пример
у3 - 9лет2 + 27y - 27 = y3 - 3. у2. 3 + 3. у. 32 - 33 = (у - 3)3
Читайте тоже:
- Известные продукты
- Известные продукты - упражнения
- Полиномиальная функция
Решенные упражнения
1) Классифицируйте следующие многочлены на одночлены, двучлены и трехчлены:
а) 3abcd2
б) 3a + bc - d2
в) 3ab - cd2
а) мономиум
б) трехчлен
в) биномиальный
2) Укажите степень многочленов:
а) ху3 + 8xy + x2у
б) 2x4 + 3
в) ab + 2b + a
г) zk7 - 10z2k3ш6 + 2x
а) 4 класс
б) 4 класс
в) 2 класс
г) 11 класс
3) Каково значение периметра рисунка ниже:
Периметр фигуры определяется сложением всех сторон.
2x3 + 4 + 2x3 + 4 + х3 + 1 + х3 + 1 + х3 + 1 + х3 + 1 = 8x3 + 12
4) Найдите площадь фигуры:
Площадь прямоугольника определяется умножением основания на высоту.
(2х + 3). (х + 1) = 2х2 + 5x + 3
5) Разложите многочлены на множители
а) 8ab + 2a2б - 4б2
б) 25 + 10л + л2
в) 9 - к2
а) Поскольку есть общие факторы, исключите их, представив эти факторы в качестве доказательства: 2ab (4 + a - 2b)
б) Трехчлен полного квадрата: (5 + y)2
c) Разница в два квадрата: (3 + k). (3 - к)
Смотрите также: Алгебраические выражения а также Упражнения на алгебраические выражения
