Все об уравнении 2-й степени

THE уравнение второй степени получил свое название, потому что это полиномиальное уравнение, член наивысшей степени которого возведен в квадрат. Также называется квадратным уравнением, оно представлено:

топор² + bx + c = 0

В уравнении 2-й степени Икс является неизвестным и представляет собой неизвестное значение. уже лирика В, B а также ç называются коэффициентами уравнения.

Коэффициенты - действительные числа, а коэффициент В оно должно быть отличным от нуля, иначе оно станет уравнением 1-й степени.

Решение уравнения второй степени означает поиск реальных значений Икс, что делает уравнение истинным. Эти значения называются корнями уравнения.

У квадратного уравнения не более двух действительных корней.

Полные и неполные уравнения средней школы

Уравнения 2-й степени полный - это те, у которых все коэффициенты, то есть a, b и c отличны от нуля (a, b, c ≠ 0).

Например, 5-кратное уравнение² + 2x + 2 = 0 является полным, поскольку все коэффициенты ненулевые (a = 5, b = 2 и c = 2).

Квадратичное уравнение

неполный когда b = 0 или c = 0 или b = c = 0. Например, уравнение 2x² = 0 неполное, потому что a = 2, b = 0 и c = 0

Решенные упражнения

1) Определите значения Икс что делает уравнение 4x² - 16 = 0 верно.

Решение:

Данное уравнение является неполным уравнением 2-й степени с b = 0. Для уравнений этого типа мы можем решить, изолировав Икс. Таким образом:

Обратите внимание, что квадратный корень из 4 может быть 2 и -2, так как эти два квадрата чисел дают 4.

Итак, корни уравнения 4x² - 16 = 0 соток х = - 2 а также х = 2

2) Найдите значение x так, чтобы площадь прямоугольника ниже была равна 2.

Решение:

Площадь прямоугольника определяется умножением основания на высоту. Значит, мы должны умножить заданные значения на 2.

(х - 2). (х - 1) = 2

Теперь умножим все члены:

Икс. х - 1. х - 2. х - 2. (- 1) = 2
Икс² - 1x - 2x + 2 = 2
Икс² - 3x + 2 - 2 = 0
Икс² - 3x = 0

После решения умножений и упрощений мы находим неполное квадратное уравнение с c = 0.

Уравнения этого типа могут быть решены с помощью факторизация, поскольку Икс повторяется в обоих терминах. Итак, мы собираемся представить это в качестве доказательства.

Икс. (х - 3) = 0

Чтобы произведение было равно нулю, либо x = 0, либо (x - 3) = 0. Однако замена Икс по нулю измерения сторон отрицательные, поэтому это значение не будет ответом на вопрос.

Итак, у нас есть единственный возможный результат (x - 3) = 0. Решение этого уравнения:

х - 3 = 0
х = 3

Таким образом, значение Икс так что площадь прямоугольника равна 2 х = 3.

Формула Бхаскары

Когда квадратное уравнение завершено, мы используем Формула Бхаскары найти корни уравнения.

Формула представлена ​​ниже:

Формула дельты

В формуле Бхаскары появляется греческая буква Δ (дельта), который называется дискриминантом уравнения, потому что по его значению можно узнать количество корней, которые будет иметь уравнение.

Для расчета дельты мы используем следующую формулу:

Шаг за шагом

Чтобы решить уравнение 2-й степени, используя формулу Бхаскары, мы должны выполнить следующие шаги:

1 шаг: Определите коэффициенты В, B а также ç.

Члены уравнения не всегда появляются в одном и том же порядке, поэтому важно знать, как идентифицировать коэффициенты, независимо от того, в какой последовательности они находятся.

коэффициент В это число, которое идет с x², O B это число, которое сопровождает Икс это ç - независимый член, то есть число без x.

2-й шаг: Рассчитайте дельту.

Для вычисления корней необходимо знать значение дельты. Для этого заменим буквы в формуле на значения коэффициентов.

По значению дельты мы можем заранее узнать количество корней, которое будет иметь уравнение 2-й степени. То есть, если значение Δ больше нуля (Δ > 0) уравнение будет иметь два действительных и различных корня.

Если наоборот, дельта меньше нуля (Δ) уравнение не будет иметь действительных корней и если оно равно нулю (Δ = 0) уравнение будет иметь только один корень.

3-й шаг: Вычислить корни.

Если найденное значение дельты отрицательное, вам не нужно больше выполнять вычисления, и ответ заключается в том, что уравнение не имеет реальных корней.

Если значение дельты равно или больше нуля, мы должны заменить все буквы их значениями в формуле Бхаскары и вычислить корни.

Упражнение решено

Определите корни уравнения 2x² - 3х - 5 = 0

Решение:

Чтобы решить эту проблему, мы должны сначала определить коэффициенты, поэтому у нас есть:
а = 2
б = - 3
с = - 5

Теперь мы можем найти значение дельты. Мы должны быть осторожны с правилами знаков и помнить, что мы должны сначала решить потенцирование и умножение, а затем сложение и вычитание.

Δ = (- 3)² - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49

Поскольку найденное значение положительное, мы найдем два различных значения для корней. Итак, мы должны решить формулу Бхаскары дважды. Итак, у нас есть:

Итак, корни уравнения 2x² - 3x - 5 = 0 соток х = 5/2 а также х = - 1.

Система уравнений 2-й степени

Когда мы хотим найти значения двух разных неизвестных, которые одновременно удовлетворяют двум уравнениям, мы имеем система уравнений.

Уравнения, составляющие систему, могут быть 1-й и 2-й степени. Чтобы решить эту систему, мы можем использовать метод подстановки и метод сложения.

Упражнение решено

Решите систему ниже:

Решение:

Для решения системы мы можем использовать метод сложения. В этом методе мы добавляем аналогичные члены из 1-го уравнения и из 2-го уравнения. Итак, сводим систему к одному уравнению.

Мы все еще можем упростить все члены в уравнении на 3, и в результате получится уравнение x² - 2х - 3 = 0. Решая уравнение, имеем:

Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16

После нахождения значений x мы не должны забывать, что нам все еще нужно найти значения y, которые делают систему истинной.

Для этого просто замените найденные значения x в одном из уравнений.

у₁ - 6. 3 = 4
у₁ = 4 + 18
у₁ = 22

у₂ - 6. (-1) = 4
у₂ + 6 = 4
у₂ = - 2

Следовательно, значения, которые удовлетворяют предложенной системе, равны (3, 22) и (-1, - 2)

Вас также может заинтересовать Уравнение первой степени.

Упражнения

Вопрос 1

Решите полное квадратное уравнение, используя формулу Бхаскары:

2x² + 7x + 5 = 0

См. Ответ

Прежде всего, важно наблюдать за каждым коэффициентом в уравнении, поэтому:

а = 2
б = 7
с = 5

По формуле дискриминанта уравнения мы должны найти значение Δ.

Это нужно для того, чтобы позже найти корни уравнения с помощью общей формулы или формулы Бхаскары:

Δ = 7² – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9

Обратите внимание, что если значение Δ больше нуля (Δ > 0) уравнение будет иметь два действительных и различных корня.

Итак, найдя Δ, давайте заменим его в формуле Бхаскары:

Следовательно, значения двух действительных корней равны: Икс₁ = - 1 а также Икс₂ = - 5/2

Дополнительные вопросы можно найти на Уравнение средней школы - упражнения

вопрос 2

Решите неполные уравнения второй степени:

а) 5х² - х = 0

См. Ответ

Сначала ищем коэффициенты уравнения:

а = 5
б = - 1
с = 0

Это неполное уравнение, где c = 0.

Для его вычисления мы можем использовать факторизацию, которая в данном случае ставит x в качестве доказательства.

5x² - х = 0
Икс. (5x-1) = 0
В этой ситуации произведение будет равно нулю, когда x = 0 или когда 5x -1 = 0. Итак, давайте посчитаем значение x:

Итак, корни уравнения Икс₁ = 0 а также Икс₂ = 1/5.

б) 2x² – 2 = 0

См. Ответ

а = 2
б = 0
с = - 2

Это неполное уравнение второй степени, где b = 0, его вычисление можно выполнить, выделив x:

Икс₁ = 1 и x₂ = - 1

Итак, два корня уравнения Икс₁ = 1 а также Икс₂ = - 1

в) 5х² = 0

См. Ответ

а = 5
б = 0
с = 0

В этом случае неполное уравнение представляет коэффициенты b и c, равные нулю (b = c = 0):

Следовательно, корни этого уравнения имеют значения Икс₁ = Икс₂ = 0

Чтобы узнать больше, прочтите также:

• Квадратичная функция
• Сумма и произведение
• неравенство
• иррациональные уравнения
• Вершина параболы