Сходство треугольников: упражнения с комментариями и решением

THE подобие треугольника используется для нахождения неизвестной меры одного треугольника, зная размеры другого треугольника.

Когда два треугольника похожи, размеры их соответствующих сторон пропорциональны. Это соотношение используется для решения многих геометрических задач.

Итак, воспользуйтесь комментариями и решенными упражнениями, чтобы разрешить все ваши сомнения.

Проблемы решены

1) Подмастерье моряка - 2017

См. Рисунок ниже

Здание отбрасывает на землю 30-метровую тень в тот же момент, когда человек ростом 6 метров отбрасывает тень 2,0 метра. Можно сказать, что высота постройки стоит

а) 27 м
б) 30 м
в) 33 м
г) 36 м
д) 40 м

См. Ответ

Мы можем считать, что здание, его проецируемая тень и солнечный луч образуют треугольник. Точно так же у нас есть треугольник, образованный человеком, его тенью и солнечным лучом.

Учитывая, что солнечные лучи параллельны и что угол между зданием и землей и человеком равным земля равна 90º, треугольники, указанные на рисунке ниже, аналогичны (два угла равно).

Поскольку треугольники похожи, мы можем записать следующую пропорцию:

Альтернатива: а) 27 м

2) Fuvest - 2017 г.

На рисунке прямоугольник ABCD имеет стороны длиной AB = 4 и BC = 2. Пусть M - середина стороны и N середина стороны . Сегменты перехватить отрезок в точках E и F соответственно.

Площадь треугольника AEF равна

См. Ответ

Площадь треугольника AEF можно найти, уменьшив площадь треугольника ABE из площади треугольника AFB, как показано ниже:

Начнем с определения площади треугольника AFB. Для этого нам нужно узнать значение высоты этого треугольника, так как базовое значение известно (AB = 4).

Обратите внимание, что треугольники AFB и CFN похожи тем, что имеют два равных угла (случай AA), как показано на рисунке ниже:

Построим высоту H₁относительно стороны AB в треугольнике AFB. Поскольку размер стороны CB равен 2, можно считать, что относительная высота стороны NC в треугольнике FNC равна 2 - H₁.

Тогда мы можем записать следующую пропорцию:

Зная высоту треугольника, мы можем вычислить его площадь:

Чтобы найти площадь треугольника ABE, вам также потребуется вычислить значение его высоты. Для этого воспользуемся тем, что треугольники ABM и AOE, указанные на рисунке ниже, похожи.

Кроме того, треугольник OEB является прямоугольным, а два других угла равны (45º), так что это равнобедренный треугольник. Таким образом, два катета этого треугольника стоят H₂, как на изображении ниже:

Таким образом, сторона AO треугольника AOE равна 4 - H_2. Исходя из этой информации, можно указать следующую пропорцию:

Зная значение высоты, теперь мы можем вычислить площадь треугольника ABE:

Таким образом, площадь треугольника AFE будет равна:

Альтернатива: d)

3) Cefet / MG - 2015 г.

На следующем рисунке представлен прямоугольный бильярдный стол с шириной и длиной 1,5 и 2,0 м соответственно. Игрок должен бросить белый шар из точки B и ударить черный шар в точке P, не задев в первую очередь ни один другой шар. Поскольку желтый находится в точке A, этот игрок бросит белый шар в точку L, чтобы он отскочил и столкнулся с черным.

Если угол падения мяча на сторону стола и угол отскока равны, как показано на рисунке, то расстояние от P до Q в см приблизительно равно

а) 67
б) 70
в) 74
г) 81

См. Ответ

Треугольники, отмеченные красным на изображении ниже, похожи, так как имеют два равных угла (угол, равный α, и угол, равный 90º).

Следовательно, мы можем записать следующую пропорцию:

Альтернатива: а) 67

4) Военное училище / RJ - 2015 г.

В треугольнике ABC точки D и E принадлежат сторонам AB и AC соответственно и таковы, что DE / / BC. Если F - точка AB такая, что EF / / CD и измерения AF и FD e соответственно равны 4 и 6, измерение сегмента DB будет:

а) 15.
б) 10.
в) 20.
г) 16.
д) 36.

См. Ответ

Мы можем представить треугольник ABC, как показано ниже:

Поскольку отрезок DE параллелен BC, то треугольники ADE и ABC подобны тем, что их углы совпадают.

Тогда мы можем записать следующую пропорцию:

Треугольники FED и DBC также похожи, поскольку отрезки FE и DC параллельны. Таким образом, верна и следующая пропорция:

Выделяя y в этой пропорции, мы имеем:

Замена значения y в первом равенстве:

Альтернатива: а) 15

5) Epcar - 2016 г.

Земля в форме прямоугольного треугольника будет разделена на два участка забором, сделанным на биссектрисе гипотенузы, как показано на рисунке.

Известно, что стороны AB и BC этой местности имеют размеры соответственно 80 м и 100 м. Таким образом, соотношение между периметром участка I и периметром участка II в указанном порядке составляет

См. Ответ

Чтобы узнать соотношение между периметрами, нам нужно знать значение всех сторон рисунка I и рисунка II.

Обратите внимание, что биссектриса гипотенузы делит сторону BC на два конгруэнтных сегмента, поэтому сегменты CM и MB имеют размер 50 м.

Поскольку треугольник ABC является прямоугольником, мы можем вычислить сторону AC, используя теорему Пифагора. Однако обратите внимание, что этот треугольник - треугольник Пифагора.

Таким образом, гипотенуза, равная 100 (5. 20) и одно два отрезка равно 80 (4.20), то другое колено может быть равно только 60 (3.20).

Мы также определили, что треугольники ABC и MBP похожи (случай AA), так как у них общий угол, а другой угол равен 90º.

Итак, чтобы найти значение x, мы можем записать следующую пропорцию:

Значение z можно найти, учитывая пропорцию:

Мы также можем найти значение y, выполнив:

Теперь, когда мы знаем все стороны, мы можем рассчитать периметры.

Периметр рисунка I:

Периметр рисунка II:

Следовательно, соотношение периметров будет равно:

Альтернатива: d)

6) Энем - 2013 г.

Хозяин фермы хочет поставить опорный стержень, чтобы лучше закрепить две стойки длиной 6 и 4 м. На рисунке представлена ​​реальная ситуация, в которой стойки описываются сегментами AC и BD и стержнем. представлен сегментом EF, перпендикулярным земле, который обозначен сегментом прямой линии AB. Сегменты AD и BC представляют собой стальные тросы, которые будут проложены.

Каким должно быть значение длины штанги EF?

а) 1 м
б) 2 м
в) 2,4 м
г) 3 м
д) 2 м

См. Ответ

Чтобы решить эту проблему, назовем высоту стебля как z и измерения сегментов AF и FB Икс а также усоответственно, как показано ниже:

Треугольник ADB похож на треугольник AEF в том, что оба имеют угол, равный 90 °, и общий угол, поэтому они похожи в случае AA.

Следовательно, мы можем записать следующую пропорцию:

Умножая «крестиком», получаем равенство:

6x = h (x + y) (I)

С другой стороны, треугольники ACB и FEB также будут похожи по тем же причинам, что и выше. Итак, у нас есть пропорция:

Решаем аналогично:

4у = ч (х + у) (II)

Обратите внимание, что уравнения (I) и (II) имеют одно и то же выражение после знака равенства, поэтому мы можем сказать, что:

6x = 4 года

Подставляя значение x во второе уравнение:

Альтернатива: c) 2,4 м

7) Fuvest - 2010 г.

На рисунке треугольник ABC прямоугольный со сторонами BC = 3 и AB = 4. Кроме того, точка D относится к ключице. , точка E, принадлежащая ключице а точка F принадлежит гипотенузе , такой, что DECF - параллелограмм. если , поэтому площадь параллелограмма DECF стоит

См. Ответ

Площадь параллелограмма определяется путем умножения базового значения на высоту. Назовем h высотой, а x - базовой мерой, как показано ниже:

Поскольку DECF - параллелограмм, его стороны параллельны два на два. Таким образом, стороны AC и DE параллельны. Итак, углы они одинаковые.

Затем мы можем определить, что треугольники ABC и DBE подобны (случай AA). Также имеем, что гипотенуза треугольника ABC равна 5 (треугольники 3,4 и 5).

Таким образом, напишем следующую пропорцию:

Чтобы найти меру x основания, рассмотрим следующую пропорцию:

Вычисляя площадь параллелограмма, имеем:

Альтернатива: а)