THE разложение на простые множители является очень важным инструментом в математическом развитии, поскольку позволяет упростить числовые выражения или алгебраический и рассчитать MDC или MMC целых чисел.
Разложение на простые множители - один из наиболее важных результатов в области алгебры, формально известный как Фундаментальная теорема арифметики, которая утверждает, что все положительное целое число больше 1 можно записать (или разложить) в виде умножение простых чисел.
Тоже читай: Свойства умножения для мысленных вычислений
Как разложить на простые множители?
Важно понимать концепцию простых чисел, поскольку мы собираемся использовать их для разбивки целых чисел. Здесь мы вкратце вернемся к определению простых чисел.
|
Простые числа - это те числа, которые присутствуют в вашем списке разделители только номер 1 и сами. Например, чтобы проверить, являются ли числа 11 и 21 простыми или нет, мы должны перечислить делители обоих чисел: D (11) = {1, 11} D (21) = {1, 3, 7, 21} Обратите внимание, что при перечислении делителей 11 появляется только цифра 1 и сама цифра, поэтому число 11 простое, что не относится к номеру 21, у которого больше цифр, чем 1 и 21, поэтому число 21 не простое. главный простые числа которые мы используем для выполнения разложения, являются первыми, поэтому очень важно знать хотя бы следующие простые числа: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…} |
Разложение на простые множители - очень мощный инструмент в математике, поскольку он позволяет упрощение алгебраических и числовых выражений. Формально разложение на простые множители известно как основная теорема арифметики, которая гласит:
«Каждое целое число больше 1 может быть записано как произведение простых чисел».
Кроме того, это разложение уникально для каждого числа, то есть, например, при разложении числа 12 оно будет единственным с такой факторизацией. Число, допускающее разложение, называется сложный.
Как разложить составное число?
Чтобы разложить составное число, мы должны выполнить подразделения последовательные простые числа - если возможно деление - до тех пор, пока частное не станет равным 1. В конце концов, мы должны записать простые числа, используемые в форме умножения (факторизованной форме). См. Примеры ниже:
Пример 1
Напишите число 24 в факторизованном виде.
Чтобы записать число 24 в факторизованной форме, мы должны разделить его на первое возможное простое число, то есть разделите число 24 на простое число, в котором деление является точным.
С помощью алгоритм деления, разделим 24 на2.
Частное, найденное теперь, было числом 12, поэтому мы должны снова разделить его на первое простое число, деление которого точное, то есть на2.
Мы должны продолжайте этот процесс, пока частное не станет равным 1. Обратите внимание, что теперь частное равно 6, поэтому мы можем разделить его на 2, поскольку число 2 является первым простым числом, для которого деление все еще возможно.
Обратите внимание, что частное теперь равно 3, поэтому разделить его на 2 невозможно. В этих случаях давайте разделим его на следующее простое число с точным делением, то есть на3.
Поскольку частное равно 1, разложение завершено, теперь достаточно записать простые числа (которые находятся внутри ключа) как произведение. Посмотрите:
24 = 2 · 2 ·2 · 3
24 = 23· 3
Обратите внимание, что мы написали цифру 24 в форме продукта. Это означает, что мы разложили на множители число 24, используя простые числа.
Пример 2
Запишите число 25 в разложенном виде.
В этом примере мы снова будем использовать алгоритм деления, но мы собираемся написать его по-другому, см.
25 = 5 · 5 + 0
5 = 5 · 1 + 0
Число 25 в факторизованном виде:
25 = 5 ·5
25 = 52
Тоже читай: Критерии делимости - процессы, облегчающие работу подразделения
Практический метод разложения на простые множители
Если посмотреть на предыдущий метод, если число, которое нужно разложить на множители, очень велико, например число 1024, у нас есть довольно трудоемко, так как последовательные деления на простые числа будут необходимы, пока частное не станет равным к 1.
Метод, который мы увидим дальше, - это не что иное, как упрощение деления. Вместо того, чтобы записывать все элементы деления (делитель, делимое, частное и остаток), давайте поместим только простое число, на которое мы собираемся разделить число, подлежащее факторизации, и частное деления. См. Примеры:
Факторинг числа 60
Чтобы разложить на множители число 60, давайте проделаем тот же шаг за шагом, но давайте просто напишем частное деления (то есть результат) и простое число, на которое мы собираемся разделить число 60.
Посмотрите, что при делении 60 на2,результат равен 30, и если разделить число 30 на 2, результат равен 15, и так далее, пока результат деления не станет равным 1. Процесс остается прежним, разница лишь в упрощении информации.
Число 60 в его разложенной форме:
60 = 2 · 2 · 3 ·5
60 = 22 · 3 · 5
решенные упражнения
Вопрос 1 - Разложите число 192 на простые множители.
разрешение
Число 192 в разложенном виде:
192 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3
192 = 26 · 3
вопрос 2 - Рассмотрим числа p и q такие, что p = 25 · 5 и q = 32. Определите соотношение между q и p.
разрешение
Соотношение между двумя числами - это деление между ними. Мы всегда должны соблюдать порядок, в котором они были даны для деления q на p. Прежде чем выполнять фактическое деление, давайте разложим число q на множители, ища способ упростить расчет.
У нас q = 32, поэтому мы можем записать это так:
q = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
q = 25
Теперь, когда мы разложили на множители число q, мы можем составить соотношение между q и p и подставить значения.
