Рассмотрим полиномиальное уравнение ниже, где все коэффициенты Внетцелые числа:
ВнетИкснет +п-1Иксп-1 +п-2Иксп-2 +… +2Икс2 +1х + а0 = 0
O Теорема о рациональных корнях гарантирует, что если это уравнение допускает рациональное число п/какие как корень (с п
, какие 
а также mdc (p, q) = 1), тогда В0 делится на п а также Внет делится на какие.
Комментарии:
1º) Теорема о рациональных корнях не гарантирует, что у полиномиального уравнения есть корни, но если они действительно существуют, теорема позволяет нам идентифицировать все корни уравнения;
2º) если Внет= 1 а все остальные коэффициенты - целые числа, уравнение имеет только целые корни.
3°) если q = 1 и есть рациональные корни, это целые и делители В0.
Применение теоремы о рациональных корнях:
Воспользуемся теоремой, чтобы найти все корни полиномиального уравнения 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20х + 12 = 0.
Во-первых, давайте определим возможные рациональные корни этого уравнения, то есть корни вида п/какие. Согласно теореме, В0 делится на П; таким образом, как
В0 = 12, то возможные значения п равны {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Аналогично, мы должны Внет делится на какие а также Внет = 2, тогда какие может иметь следующие значения: {± 1, ± 2}. Следовательно, разделив значения п на какие, мы получаем возможные значения п/какие корни уравнения: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Чтобы подтвердить, что найденные нами значения действительно являются корнем полиномиального уравнения, давайте подставим каждое значение вместо Икс уравнения. Через алгебраическое исчисление, если полином приводит к нуль, так что замененное число на самом деле является корнем уравнения.
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20х + 12 = 0
Для x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Для x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Не останавливайся сейчас... После рекламы есть еще кое-что;)
Для x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Для x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Для x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Для x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Для x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Для x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Для x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Для x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Для x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Для x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Для x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Для x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Для x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Для x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Следовательно, корни полиномиального уравнения 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20х + 12 = 0 они есть {– 3, – 2, ½, 2}. Через теорема о полиномиальном разложении, мы могли бы записать это уравнение в виде (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Аманда Гонсалвес
Окончил математику
Хотели бы вы использовать этот текст в учебе или учебе? Посмотрите:
РИБЕЙРО, Аманда Гонсалвеш. «Теорема о рациональных корнях»; Бразильская школа. Доступно в: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Доступ 28 июня 2021 г.
