Что такое тригонометрия?

Тригонометрия Слово греческого происхождения, обозначающее величину трех углов. Исследования в этой области математики сосредоточены на треугольники, которые представляют собой многоугольники с тремя сторонами и, следовательно, тремя углами. Сначала тригонометрия он занимается изучением некоторых свойств и отношений прямоугольных треугольников, чтобы впоследствии связать измерения сторон треугольников с измерениями углов.

Эти свойства и отношения расширяются до любых треугольников с помощью теорем, известных как закон грехов а также закон косинуса. Позже некоторые из этих результатов наблюдаются в треугольниках, стороны которых являются заметными сегментами окружности, известной как «тригонометрическая окружность».

THE тригонометрия предлагает отличную новинку. Раньше можно было рассматривать только расчеты и свойства, включающие исключительно стороны или исключительно углы треугольника или основные отношения между этими элементами. По прибытии можно напрямую связать измерения сторон треугольника с измерением одного из его углов. Примечательно, что отношения между заметными сторонами и сегментами внутри треугольника также составляют

тригонометрия.

Прежде чем углубиться в понятие тригонометрия, Важно знать, какие элементы в прямоугольном треугольнике самые важные. Эти элементы изложены ниже:

Элементы прямоугольного треугольника

Каждый прямоугольный треугольник можно разделить на два других прямоугольных треугольника, как показано на рисунке ниже, с указанием высоты «h» относительно основания «a».

Высота этого прямоугольного треугольника образует два угла 90 ° с его основанием.

Рассматривая треугольник ABD, прямоугольник в B, можно наблюдать следующие элементы:

1 - Стороны AB и BD называются сторонами и их размеры соответственно c и b;

2 - Сторона AD называется гипотенузой, а ее размер - a. Эта сторона всегда будет напротив угла 90 °;

3 - BE высота треугольника ABD относительно основания AD, размер h. (помня, что высота всегда образует угол 90 ° с основанием относительно него);

4 - AE - ортогональная проекция катета AB на гипотенузу. Его мера - m;

5 - ED - ортогональная проекция катета BD на гипотенузу. Его размер равен n.

Затем мы представляем и обсуждаем некоторые свойства тригонометрии на основе элементов прямоугольного треугольника, показанного выше.

Метрические отношения в правом треугольнике

Это равенства, которые связывают стороны, высоту и ортогональные проекции прямоугольного треугольника:

1) с² = средний

2) б · с = а · ч

3) ч² = m · n

4) б² = нет

5) the² = b² + c² (Теорема Пифагора)

Тригонометрические соотношения или соотношения в прямоугольном треугольнике

Эти равенства связывают отношения сторон прямоугольного треугольника к одному из его острых углов. Для этого необходимо зафиксировать один из двух углов и соблюдать в прямоугольном треугольнике определения противоположной и смежной сторон:

Прямоугольный треугольник, выделяющий угол α

BD - это противоположная нога до угла α;

AB - это соседняя нога к углу α.

Это предпосылки для определения тригонометрические соотношения. Они:

→ Синус α

грех α = Катет напротив α
Гипотенуза

→ Косинус α

cos α = Катет, прилегающий к α
Гипотенуза

→ Тангенс α

tg α = Катет напротив α
Катет, прилегающий к α

Эти причины относятся к любому прямоугольный треугольник с острым углом, равным α. Результат этих делений всегда один и тот же, независимо от длины стороны треугольника, поскольку два треугольника имеют два равных угла из-за подобие треугольника угол-угол, имеют пропорциональные стороны. Отсюда следует, что соотношение сторон одинаковое.

тригонометрический круг

Также называется тригонометрическим циклом или тригонометрическим кругом (более правильные, но менее распространенные названия), это ориентированный круг радиуса 1. На этой окружности прямоугольный треугольник, угол α которого совпадает с началом координат, так что высота этого треугольника идет от оси абсцисс к краю окружности.

Эта высота совпадает со значением синус, потому что это сторона, противоположная углу α. Мера, идущая от точки пересечения высоты с осью абсцисс до начала координат, совпадает со стороной, примыкающей к углу α, то есть со значением косинус.

Эти совпадения происходят потому, что гипотенуза всегда равна 1, так как это радиус окружности. Обратите внимание на эти свойства на изображении ниже:

Круг радиуса 1, на котором расположен прямоугольный треугольник для оценки его свойств.

Каким бы ни был прямоугольный треугольник, построенный на этом круге, сторона, совпадающая с частью оси абсцисс измеряет точно значение косинуса α, а другая сторона измеряет точно синус α.

Тригонометрические функции

Используя тригонометрический круг, можно определить тригонометрические функции которые связывают каждый элемент набора действительных чисел с одним элементом также набора действительных чисел. Однако эти числа выражаются в радианах, которые являются единицей измерения в зависимости от используемого π, потому что после 360 ° в тригонометрический круг, подсчет степеней и, как следствие, элементов домена и контрдомена функции, основанной на нем, может быть перезапущен с нуля.

фундаментальные отношения

Основные отношения тригонометрии:

1) Фундаментальные отношения 1

Сен²α + cos²α = 1

2) касательная к α

tg α = грех α
cos α

3) Котангенс α, которая является обратной касательной к α

cotg α = cos α
грех α

4) Секант α, который является обратным косинусу α

сек α = 1
cos α

5) Косеканс α, который является обратным синусу α

cossec α = 1
грех α

6) Связь, возникающая 1

тг²α + 1 = сек²α

7) Отношение 2

котг²α + 1 = cossec²α

8) Повторяющиеся отношения 3

cotg α = 1
tg α

Луис Пауло Морейра
Окончил математику

Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm