Исследование о числовые наборы составляет одну из основных областей математики, поскольку они очень важны для теоретического развития этой области и имеют несколько практических приложений. Числовые наборы включают в изучение:
- натуральные числа;
- целые числа;
- рациональное число;
- иррациональные числа;
- вещественные числа; а также
- комплексные числа.
читать далее: Простые числа - числа, которые имеют только 1 и сами являются делителями.
Набор натуральных чисел
Развитие первых цивилизаций принесло с собой улучшение сельского хозяйства и торговли и, следовательно, использование чисел для обозначения количества. Первый набор появился естественным образом, отсюда и его название. Естественный именованный набор используется для представления количеств, он обозначается символ ℕ и записывается в виде последовательности. Посмотрите:
O набор чисел naturaявляется é бесконечный и закрытый для операций добавление и умножение, то есть всякий раз, когда мы складываем или умножаем два натуральных числа, ответ остается естественным. Однако для операции вычитания и разделение, набор не закрывается. Посмотрите:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Обратите внимание, что числа –1 а также 0,5 они не принадлежат к набору натуральных чисел, и это оправдание для создания и изучения новых наборов чисел.
Также, поместив звездочку (*) в символ натурального набора, мы должны удалить число ноль из списка, см.:
набор целых чисел
Целый набор чисел придумал необходимо провести операцию вычитание нет ограничений. Как мы видели, когда меньшее число вычитается из большего, ответ не принадлежит группе натуральных чисел.
Набор целых чисел также представлен бесконечной числовой последовательностью и обозначается символ ℤ.
Как и в наборе натуральных чисел, помещая звездочку в символ ℤ, нулевой элемент удаляется из набора, например:
Символ (-), который сопровождает число, указывает, что оно симметрично, поэтому симметричным числом 4 является число –4. Также обратите внимание, что набор натуральных чисел содержится в наборе целых чисел, то есть набор натуральных чисел является подмножеством набора целых чисел.
ℕ ⸦ ℤ
Читайте тоже: Операции с целыми числами - что это такое и как рассчитать?
набор рациональных чисел
O набор рациональных чисел é представлен символом ℚ и не представлен числовой последовательностью. Этот набор состоит из всех чисел, которые можно представить в виде дроби. Представляем его элементы следующим образом:
Мы знаем, что каждое целое число может быть представлено доля, то есть набор целых чисел содержится в наборе рациональных чисел, поэтому набор целых чисел - это подмножество рациональных чисел.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Числа, которые имеют бесконечное представление, например периодические десятины, также имеют представление в виде дроби, поэтому они также рациональны.
Читайте тоже: Операции с дробями - пошагово как их решать
Набор иррациональных чисел
Как мы видели, число является рациональным, если его можно записать в виде дроби. Также было сказано, что бесконечные и периодические числа являются рациональными, однако есть некоторые числа, которые нельзя записать в виде дроби и которые, следовательно, не принадлежат множеству рациональных чисел.
Эти нерациональные числа называются иррациональный и его основными характеристиками являются бесконечность десятичной части и нечастотность, то есть число в десятичной части не повторяется. См. Несколько примеров иррациональные числа.
- Пример 1
Квадратные корни из чисел, не являющихся полными квадратами.
- Пример 2
Константы, возникающие по особым причинам, например, золотое число, число Эйлера или Пи.
Набор действительных чисел
O набор действительных чисел представлен символом ℝ и образован единствомножества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел. Помните, что множество рациональных чисел представляет собой объединение натуральных и целочисленных множеств.
Когда мы располагаем действительные числа в строке, мы получаем, что число ноль является началом линии, справа от нуля будут положительные числа, а слева - отрицательные числа.
Поскольку эта ось действительна, мы можем сказать, что между двумя числами есть бесконечные числа, а также что эта ось бесконечна как в положительное направление когда в отрицательное направление.
Набор комплексных чисел
O набор комплексных чисел это последний и он возник по той же причине, что и набор целых чисел, то есть это операция, развитие которой только с набором действительных чисел невозможно.
Решив следующее уравнение, убедитесь, что оно не имеет решения, зная только действительные числа.
Икс2 + 1 = 0
Икс2 = –1
Обратите внимание, что нам нужно найти число, которое при поднятьdО в квадрате дает отрицательное число. Мы знаем это любое число в квадрате всегда положительно, следовательно, этот расчет не имеет реального решения.
Таким образом были созданы комплексные числа, в которых мы имеем мнимое число обозначается я, который имеет следующее значение:
Итак, осознайте, что уравнение у которого раньше не было решения, теперь оно есть. Проверить:
читать далее: Свойства, содержащие комплексные числа
фактические интервалы
В некоторых случаях мы не будем использовать каждую действительную ось, то есть будем использовать ее части, которые будут называться перерывы. Эти интервалы подмножества множества действительных чисел. Далее мы введем обозначения для этих подмножеств.
Замкнутый круг - без учета крайностей
Интервал закрывается, когда он имеет две крайности, то есть минимум и максимум, а в данном случае экстремумы не принадлежат к диапазону. Обозначим это открытым шаром. Посмотрите:
Красным цветом выделены числа, принадлежащие этому диапазону, то есть это числа. больше a и меньше b. Алгебраически запишем такой интервал следующим образом:
< Икс
Где число x - это все действительные числа, которые находятся в этом диапазоне. Мы также можем изобразить это символически. Посмотрите:
] The; B [ или же (The; Б)
Закрытый диапазон - включая крайности
Теперь давайте воспользуемся закрытыми шарами, чтобы представить, что крайности принадлежат диапазону.
Итак, мы собираем действительные числа между a и b, включая их. Алгебраически мы выражаем такой интервал как:
≤ Иксб
Используя символические обозначения, мы имеем:
[The; B]
Замкнутый диапазон - включая одну из крайностей
По-прежнему имея дело с закрытыми интервалами, теперь у нас есть случай, когда включена только одна из крайностей. Следовательно, один из шариков закроется, указывая, что число принадлежит диапазону, а другой нет, указывая, что число не принадлежит этому диапазону.
Алгебраически мы представляем этот диапазон следующим образом:
≤ Икс
Символически мы имеем:
[The; B [ или же [The; Б)
Открытый диапазон - без конца
Диапазон открывается, когда не имеет максимального или минимального элемента. Теперь мы увидим случай открытого диапазона, который имеет только максимальный элемент, который не входит в диапазон.
Смотрите, что диапазон состоит из реальные числа меньше чемB, а также обратите внимание, что число b не принадлежит диапазону (открытый шар), поэтому с алгебраической точки зрения мы можем представить интервал следующим образом:
Икс
Символически мы можем представить это следующим образом:
] – ∞; B [ или же (– ∞; Б)
Открытый диапазон - включая крайний
Другой пример открытого диапазона - это случай, когда включен экстремум. Здесь у нас есть диапазон, в котором появляется минимальный элемент, см.:
Обратите внимание, что все действительные числа больше или равны числу a, поэтому мы можем записать этот диапазон алгебраически следующим образом:
Икск
Символически мы имеем:
[The; +∞[ или же [The; +∞)
открытый диапазон
Другой случай открытого диапазона - это числа больше и меньше чисел, зафиксированных на действительной прямой. Посмотрите:
Обратите внимание, что действительные числа, принадлежащие этому диапазону, меньше или равны числу a или больше числа b, поэтому мы должны:
Икс к или жеИкс > б
Символически мы имеем:
] – ∞; а] U] b; + ∞[
или же
(– ∞; а] U (b; + ∞)
Робсон Луис
Учитель математики
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm