Для окружности с центром O, радиусом r и двумя точками A и B, принадлежащими окружности, мы имеем, что расстояние между отмеченными точками является дугой окружности. Длина дуги пропорциональна величине центрального угла: чем больше угол, тем больше длина дуги; и чем меньше угол, тем короче длина дуги.
Чтобы определить длину круга, мы используем следующее математическое выражение: C = 2 * π * r. Полный поворот по кругу представлен на 360º. Давайте сравним длину окружности в линейной мере (ℓ) и угловой мере (α), обратите внимание:
линейный |
угловатый |
2 * π * г |
360º |
ℓ |
α |
Это выражение можно использовать для определения длины дуги окружности радиуса r и центрального угла α в градусах. В этих случаях используйте π = 3,14.
Если центральный угол указан в радианах, мы используем следующее выражение: ℓ = α * r.
Пример 1
Определите длину дуги с центральным углом, равной 30 °, в окружности радиусом 2 см.
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º
ℓ = 188,40 / 180
ℓ = 1,05 см
Длина бантика составит 1,05 сантиметра.
Пример 2
Минутная стрелка настенных часов составляет 10 см. Сколько места пролетит рука через 30 минут?
Смотрите изображение часов:
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º
ℓ = 5652 / 180
ℓ = 31,4 см
Пространство, охватываемое минутной стрелкой, составит 31,4 сантиметра.
Пример 3
Определите длину дуги с центральным углом π / 3, заключенную в окружности радиусом 5 см.
ℓ = α * r
ℓ = π/3 * 5
ℓ = 5π/3
ℓ = 5*3,14 / 3
ℓ = 15,7 / 3
ℓ = 5,23 см
Пример 4
Маятник длиной 15 см качается между точками A и B под углом 15 °. Какова длина траектории, описываемой ее концом между A и B?
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º
ℓ = 706,5 / 180
ℓ = 3,9 см
Длина траектории между A и B составляет 3,9 сантиметра.
Марк Ноа
Окончил математику
Бразильская школьная команда
Тригонометрия - Математика - Бразильская школа
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/comprimento-um-arco.htm
