O principiul fundamental al numărării este conceptul principal predat în analiza combinatorie. Din aceasta s-au dezvoltat celelalte concepte din acest domeniu și formulele factoriale, de combinație, de aranjare, permutare. Înțelegerea acestui principiu este esențială pentru înțelegerea situațiilor care implică numărarea.
Acest principiu afirmă că, dacă trebuie să iau mai multe decizii și fiecare dintre ele poate fi luată în moduri x, y, z, pentru a ști câte modalități pot fi luate simultan aceste decizii, calculează produsul acestora posibilități.
Citește și tu: Analiza combinatorie - ce este, concepte importante, exerciții
Care este principiul fundamental al numărării?
Principiul fundamental al numărării este a tehnică pentru calcularea modurilor în care pot fi combinate deciziile. Dacă se poate lua o decizie Nu modalități și se poate lua o altă decizie m moduri, numărul de moduri în care aceste decizii pot fi luate simultan este calculat de produsul n · m.
Analiza tuturor combinațiilor posibile fără utilizarea principiului fundamental al numărării poate fi destul de laborioasă, ceea ce face formula foarte eficientă.
Exemplu
Într-un restaurant, se oferă faimosul fel de mâncare. Toate felurile de mâncare au orez, iar clientul poate alege o combinație de 3 opțiuni de carne (carne de vită, pui și vegetariană), 2 tipuri de fasole (bulion sau tropeiro) și 2 tipuri de băuturi (suc sau sifon). Câte moduri diferite poate face un client o comandă?
Rețineți că există 12 opțiuni, dar a fost posibil să ajungeți la acest număr prin efectuarea simplului multiplicare a posibilităților prin principiul fundamental al numărării, astfel încât numărul combinațiilor posibile de plăci ar putea fi calculat prin:
2 · 3 · 2 = 12.
Rețineți că atunci când interesul meu este să știu doar posibilitățile totale, multiplicarea este mult mai rapidă decât construirea oricărei scheme de analizat, care poate fi destul de laborioasă dacă există din ce în ce mai multe posibilități.
Când se folosește principiul fundamental al numărării?
Există mai multe aplicații ale principiului fundamental al numărării. Poate fi aplicat, de exemplu, în diferite decizii ale Tehnica de calcul. Un exemplu sunt parole care necesită utilizarea a cel puțin un simbol, ceea ce face ca numărul combinațiilor posibile să fie mult mai mare, făcând sistemul mai sigur.
O altă aplicație este în studiul cote.Pentru a le calcula, trebuie să cunoaștem numărul de cazuri posibile și numărul de cazuri favorabile. Numărarea acestui număr de cazuri posibile și favorabile se poate face prin principiul fundamental al numărării. Acest principiu generează și formulele de permutare, combinatie si amenajare.
Vezi și: Principiul numărării aditive - unirea a unuia sau mai multor seturi
exerciții rezolvate
1) (Enem) Un director de școală i-a invitat pe cei 280 de elevi din anul III să participe la un joc. Să presupunem că există 5 obiecte și 6 personaje într-o casă cu 9 camere; unul dintre personaje ascunde unul dintre obiectele dintr-una din camerele casei. Obiectivul jocului este de a ghici care obiect a fost ascuns de ce personaj și în ce cameră a casei a fost ascuns obiectul.
Toți studenții au decis să participe. De fiecare dată când un student este desenat și își dă răspunsul. Răspunsurile trebuie să fie întotdeauna diferite de cele anterioare și același elev nu poate fi desenat de mai multe ori. Dacă răspunsul elevului este corect, el este declarat câștigător și jocul s-a încheiat. Directorul știe că un student va primi răspunsul corect, deoarece există:
a) 10 elevi mai mult decât posibilele răspunsuri diferite.
b) 20 de elevi mai mult decât posibile răspunsuri diferite.
c) 119 elevi mai mult decât posibile răspunsuri diferite.
d) 260 de studenți mai mult decât posibile răspunsuri diferite.
e) 270 de elevi cu mai multe răspunsuri diferite decât posibil.
Rezoluţie
Prin principiul fundamental al numărării, numărul de răspunsuri posibile va fi egal cu produsul cantităților de caractere, obiecte și camere.
5 · 6 · 9 = 270.
Deoarece numărul de studenți este 280, atunci diferența dintre numărul de studenți și numărul de posibilități este de 10.
Răspuns: alternativa A.
2) (Enem) Se estimează că există, în Acre, 209 de specii de mamifere, distribuite conform tabelului de mai jos.
Vrem să realizăm un studiu comparativ între trei specii de mamifere - una din grupul cetaceelor, alta din grupul primatelor și a treia din grupul rozătoarelor. Numărul de seturi distincte care pot fi formate cu aceste specii pentru acest studiu este egal cu:
a) 1320
b) 2090
c) 5840
d) 6600
e) 7245.
Rezoluţie:
Știm că există 2 cetacee, 20 de primate și 33 de rozătoare. Deci, prin principiul fundamental al numărării, numărul posibilelor seturi distincte va fi:
2 ·20 ·33 = 1320
Răspuns: alternativa A.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatorial-principio-fundamental-da-contagem.htm