THE analiza combinatorie este un domeniu de studiu în matematică asociat cu regulile de numărare. La începutul secolului al XVIII-lea, studiul jocurilor care implică zaruri și cărți a făcut ca teoriile numărării să aibă o mare dezvoltare.
Opera combinatoriei permite realizarea numărărilor din ce în ce mai exacte.Principiul fundamental al numărării (PFC), factorialul și tipurile de grupare sunt exemple de concepte studiate în analiza combinatorie, care, pe lângă furnizarea mai mare precizia ajută Nudezvoltarea altor domenii ale matematicii, cum ar fi probabilitate și O Binomul lui Newton.
Citește și tu: aranjament sau çcombinaţie?
Pentru ce este analiza combinatorie?
Analiza combinatorie este asociată cu procesul de numărare, adică studiul acestui domeniu al matematicii ne permite să dezvoltăm instrumente care ne ajută să realizăm contează mai eficient. Să analizăm o problemă tipică de numărare, a se vedea:
Exemplul 1
Luați în considerare trei orașe A, B și C conectate prin autostrăzile R1, R
2, R3, R4 și R5. Determinați câte modalități putem ajunge din orașul A în orașul C prin orașul B.
Rețineți că trebuie să părăsim orașul A și să mergem în orașul B și numai atunci putem călători în orașul C, deci să analizăm toate posibilități să desfășoare evenimentul urmând autostrăzile.
Prima cale: R1 → R3
A doua cale: R1 → R4
A treia cale: R1 → R5
A 4-a cale: R2 → R3
A cincea cale: R2 → R4
A 6-a cale: R2 → R5
Deci, avem șase moduri diferite de a ajunge din orașul A în orașul C prin orașul B. Cu toate acestea, rețineți că problema propusă este relativ simplă și că analiza efectuată a fost puțin laborioasă. Deci, de acum înainte, vom studia instrumente mai sofisticate care fac posibilă rezolvarea problemelor cu mult mai puțină muncă.
Principiul fundamental al numărării (PFC)
Luați în considerare un eveniment E care poate fi efectuat în n pași independenți și consecutivi. Acum, considerați că numărul posibilităților de a efectua primul pas este egal cu P1, imaginați-vă, de asemenea, că numărul de posibilități de realizare a doua etapă este P.2, și așa mai departe, până când ajungem la ultima etapă, care are PNu posibilitățile de realizat.
Principiul fundamental al numărării (PFC) afirmă că posibilități totale de desfășurare a evenimentului E este dat de:
P1 · P2 ·… · PNu
Astfel, totalul este dat de produsul posibilităților fiecăruia dintre pașii care constituie evenimentul E. Rețineți că, pentru a determina posibilitățile totale de desfășurare a evenimentului E, este necesar să cunoașteți posibilitățile totale pentru fiecare dintre etape.
Exemplul 2
Să refacem exemplul 1 folosind principiul fundamental al numărării.
Luați în considerare imaginea din exemplul 1.
Rețineți că evenimentul se poate desfășura în două etape, prima merge din orașul A în orașul B, iar cea de-a doua merge din orașul B în orașul C. Pentru a efectua primul pas, avem două posibilități (drumurile R1 și R2), și pentru a efectua a doua etapă, avem trei posibilități (R3, R4 și R5).
Pasul 1 → două posibilități
Etapa a II-a → trei posibilități
Prin principiul fundamental al numărării, trebuie multiplica posibilitățile totale ale fiecărui pas.
2 · 3
6
Prin urmare, pentru a merge din orașul A în orașul C prin orașul B, avem un total de șase posibilități.
Exemplul 3
Câte moduri pot fi distribuite cele trei medalii olimpice într-o competiție de bicicleta de munte cu cinci concurenți?
Organizarea distribuției medaliilor este un eveniment care poate fi desfășurat în trei etape. Primul pas este de a analiza posibilitățile totale de cine va obține medalia de aur, adică cinci posibilități.
Al doilea pas este să analizăm posibilitățile cine va obține medalia de argint, adică patru, întrucât primul loc nu intră în această alegere. Al treilea pas este analizarea posibilităților totale de a obține medalia de bronz, adică Trei, din moment ce primele două au fost deja alese.
Pasul 1 → cinci posibilități
Etapa a II-a → patru posibilități
Etapa a 3-a → trei posibilități
Deci, prin principiul fundamental al numărării, avem:
5 · 4 · 3
60 de posibilități
Vezi și: Principiul numărării aditive - unirea a unuia sau mai multor seturi
Factorială
O factorial este un mod de descompune un număr natural. Pentru a calcula factorialul unui număr, înmulțiți-l cu toți predecesorii săi până la numărul 1. Factorialul este reprezentat de semnul exclamării - „!”.
Vedeți câteva exemple despre cum să calculați factorialul unor numere.
) 2! (citește: două factoriale)
Pentru calcul, înmulțiți doar numărul care însoțește factorialul cu toți predecesorii săi până la numărul 1, astfel:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
În mod formal, putem scrie factorialul după cum urmează:
Se consideră un număr natural n> 2. Factorialul lui n este indicat de n! și este dat prin multiplicarea lui n cu toți predecesorii săi întregi pozitivi.
Nu! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Rețineți următoarele factori:
4! și 5!
Acum efectuați dezvoltarea ambelor:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Rețineți că în dezvoltarea celor 5! apare dezvoltarea lui 4!. Deci putem scrie 5! prin urmare:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Exemplul 4
Calculați secțiunea factorialăurla:
Vezi că cei 15! a fost dezvoltat până la 13!. De asemenea, rețineți că, în numeratorul fracției, elementele sunt înmulțite, astfel încât să putem „tăia” 13!, Rezultând doar 15 · 14.
Observare:0! = 1
Tipuri de grupare
Unele probleme de numărare sunt mai complexe și mai ușor de rezolvat cu noi instrumente. Aceste instrumente se numesc grupare deoarece grupează elemente în moduri diferite, facilitând procesul de numărare. Aceste grupări sunt: aranjament simplu, permutare și combinație simplă.
aranjament simplu
Luați în considerare un set cu n elemente distincte. să-i spunem aranjament de la n elementele luate de la p la p, orice succesiune ordonată de p și elementele distincte alese dintre elemente.
Astfel, numărul de subseturi formate din p elemente va fi dispunerea a n elemente luate de la p la p. Formula care ne permite să calculăm numărul de aranjamente este dată de:
Exemplul 5
Calculați valoarea lui A4,2 + A5,2.
Pentru a calcula valoarea expresiei, să determinăm fiecare dintre tablouri și apoi să adăugăm acele valori împreună. Pentru a determina valoarea fiecărei matrice, trebuie să înlocuim valorile din formulă.
Rețineți că n = 4 și p = 2, ambii au fost înlocuiți în formulă. Acum, trebuie să calculăm valoarea matricei de cinci elemente luate două câte două.
Deci, trebuie să:
THE4,2 + A5,2
12 + 20
32
Exemplul 6
Câte numere naturale distincte din patru cifre pot fi formate folosind numerele 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9?
În această problemă putem folosi aranjamentul simplu, din 2435 ≠ 4235. Vom vedea că, în unele cazuri, ordinea elementelor nu le diferențiază și, prin urmare, nu putem folosi aranjamentul.
De vreme ce dorim să determinăm totalul numerelor care se pot forma, observăm că totalul elementelor este egal cu optși vrem să le grupăm patru câte patru, deci:
simplă permutare
Luați în considerare un set cu n elemente. să-i spunem simplă permutare a n elemente fiecare aranjament de n elemente luate de la n la n. Deci trebuie să:
Pentru a nu exista confuzie între concepte, să denotăm simpla permutare a n elemente de către PNu. Deci trebuie să:
PNu = n!
Exemplul 7
Calculați P7 și P3.
Pentru a calcula aceste permutări, trebuie să înlocuim valorile din formulă. Uite:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Exemplul 8
Determinați câte anagrame pot exista în cuvântul Brazilia.
Înțelegem ca anagramă toate transpunerile posibile ale literelor cuvântului, de exemplu, „Lisarb” este un anagramă a cuvântului Brazilia. Pentru a determina numărul de anagrame, trebuie să calculăm permutarea literelor din cuvânt, deci trebuie să:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Prin urmare, cuvântul Brazilia are 720 de anagrame.
De asemenea, accesați: Permutarea cu elemente repetate
combinație simplă
Luați în considerare o mulțime A cu n elemente distincte. să-i spunem combinaţie dintre elementele n luate p la p orice subset al lui A format din elemente p. Formula pentru calcularea combinației este dată de:
Exemplul 9
Calculați combinația a 10 elemente luate de la patru la patru.
Exemplul 10
Câți patrulatere distinct ne putem forma cu vârfuri în punctele A, B, C, D, E și F?
Rețineți că patrulaterul ABCD este același cu patrulaterul CDBA în acest context, deci ar trebui să folosim combinația și nu matricele. Avem în total șase puncte și vrem să le combinăm patru câte patru, astfel:
Prin urmare, putem forma 15 patrulatere distincte.
Analiza și probabilitatea combinatorie
Studiul probabilitatea este strâns legată de studiul analizei combinatorii.. În unele probleme de probabilitate, este necesar să se determine spațiul eșantionului, care constă dintr-un set format din toate rezultatele posibile ale unui eveniment dat.
În unele cazuri, spațiul eșantion E este scris foarte direct, ca în răsucirea unei monede corecte, unde rezultatele posibile sunt capete sau cozi și sunt notate după cum urmează:
E = {capete, cozi}
Acum imaginați-vă următoarea situație: o matriță este aruncată de trei ori consecutiv și suntem interesați să determinăm spațiul eșantion pentru acest experiment. Rețineți că notarea tuturor posibilităților nu mai este o sarcină simplă, trebuie să folosim principiul fundamental al numărării (PFC). Evenimentul poate fi realizat în trei etape, în fiecare dintre ele avem șase posibilități, deoarece o matriță are șase fețe, astfel:
Etapa 1 → șase posibilități
Etapa a II-a → șase posibilități
Etapa a 3-a → șase posibilități
PFC consideră că totalul posibilităților este:
6 · 6 · 6
216
Deci, putem spune că spațiul eșantion al acestui eveniment este 216.
Vedeți că pentru studiul probabilității este este necesară o cunoaștere de bază a analizei combinatorii., deoarece, fără a determina spațiul eșantion al unui experiment, este imposibil să se rezolve marea majoritate a exercițiilor de probabilitate. Pentru mai multe detalii despre acest domeniu al matematicii, citiți textul:Probabilitate.
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - Determinați numărul de anagrame ale cuvântului castel. Apoi determinați numărul de anagrame începând cu litera c.
Rezoluţie
Pentru a determina numărul de anagrame, trebuie să calculăm permutarea numărului de litere, astfel:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Cuvântul are 5040 de anagrame. Acum, pentru a determina numărul de anagrame care încep cu litera c, trebuie să fixăm litera și să calculăm anagrama celorlalte, vezi:
Ç__ __ __ __ __ __
Când reparăm litera c, rețineți că mai sunt șase câmpuri pentru calcularea permutării, astfel:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Deci, avem 720 de anagrame ale cuvântului castel care încep cu litera c.
intrebarea 2 - Într-o sală de clasă, sunt cinci bărbați și șapte femei. Câte grupuri de trei bărbați și patru femei se pot forma?
Rezoluţie
Mai întâi, vedeți că ordinea în care alegem oamenii nu contează, de exemplu grupul format din João, Marcos și José este același grup format din Marcos, João și José, prin urmare, trebuie să folosim combinația pentru calcul.
Să calculăm separat numărul de grupuri care pot fi formate de bărbați și femei și în Atunci să înmulțim aceste rezultate, deoarece fiecare grup de bărbați se poate amesteca cu fiecare grup de femei.
Bărbați
Total → 5
Cantitatea în grup → 3
femei
Total → 7
Cantitatea în grup → 4
Prin urmare, numărul total de grupuri care pot fi formate din trei bărbați și patru femei este:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
de Robson Luiz
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm